Вычисления определителя 4×4

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Определители матриц

Нам дан определитель (детерминант) матрицы 4×4:

 D = \begin{vmatrix} 1 & 8 & 16 & 3 \ -2 & 5 & 10 & -4 \ 3 & 4 & 8 & 8 \ -4 & 7 & 14 & -8 \end{vmatrix} 

Для вычисления определителя 4×4 удобно разложить его по строке или столбцу, используя миноры и алгебраические дополнения.

Разложим по первой строке:

 D = 1 \cdot M_{11} - 8 \cdot M_{12} + 16 \cdot M_{13} - 3 \cdot M_{14} 

где M_{ij} — миноры, т.е. определители соответствующих матриц 3×3.

Шаг 1: Вычисление миноров

1. Минор M_{11} (удаляем 1-ю строку и 1-й столбец):

 M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 10 & -4 \ 4 & 8 & 8 \ 7 & 14 & -8 \end{vmatrix} 

Вычисляем его по первой строке:

 M_{11} = 5 \begin{vmatrix} 8 & 8 \ 14 & -8 \end{vmatrix} - 10 \begin{vmatrix} 4 & 8 \ 7 & -8 \end{vmatrix} + (-4) \begin{vmatrix} 4 & 8 \ 7 & 14 \end{vmatrix} 

Вычисляем детерминанты 2×2:

 \begin{vmatrix} 8 & 8 \ 14 & -8 \end{vmatrix} = (8 \cdot (-8)) - (8 \cdot 14) = -64 - 112 = -176 

 \begin{vmatrix} 4 & 8 \ 7 & -8 \end{vmatrix} = (4 \cdot (-8)) - (8 \cdot 7) = -32 - 56 = -88 

 \begin{vmatrix} 4 & 8 \ 7 & 14 \end{vmatrix} = (4 \cdot 14) - (8 \cdot 7) = 56 - 56 = 0 

Подставляем:

 M_{11} = 5(-176) - 10(-88) + (-4)(0) = -880 + 880 + 0 = 0 

Так как первый минор равен нулю, весь определитель D тоже равен нулю.

Ответ: D = 0