Вычисление работы векторного поля вдоль заданного контура

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к математическому анализу и векторному анализу, а именно к разделам дифференцирования функций нескольких переменных, градиента и направленной производной, потенциальных и соленоидальных векторных полей, а также вычисления работы векторного поля вдоль заданного контура.

Разбор заданий:

Задание 5:

Нужно вычислить направленную производную функции
 u(M) = \ln(1 + x^2 - y^2 + z^2) 
в точке  M_1(1;1;1)  в направлении вектора  \overrightarrow{M_1M_2} , где  M_2(5;-4;8) .

Задание 6:

Проверить, является ли векторное поле
 \mathbf{a} = (6x - 2yz) \mathbf{i} + (6y - 2xz) \mathbf{j} + (6z - 2xy) \mathbf{k} 
потенциальным (существует ли скалярная функция, градиент которой равен этому полю) или соленоидальным (его дивергенция равна нулю).

Задание 7:

Найти работу силы
 \mathbf{F} = z \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + x \mathbf{k} 
вдоль контура  \Gamma , параметризованного как:
 x = \sqrt{2} \cos t, \quad y = 2 \sin t, \quad z = \sqrt{2} \cos t, \quad 0 \leq t \leq 2\pi .

Решение (поэтапно)

Задание 5: Вычисление направленной производной

1. Градиент функции  u(M) :
   Градиент — это вектор частных производных:  \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) .

2. Вычисление частных производных:  u(M) = \ln(1 + x^2 - y^2 + z^2) 
   Используем производную логарифма:  \frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) .

   •  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{1 + x^2 - y^2 + z^2} 
   •  \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2y}{1 + x^2 - y^2 + z^2} 
   •  \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2z}{1 + x^2 - y^2 + z^2} 

3. Подставляем  M_1(1;1;1) :  \nabla u(1,1,1) = \left( \frac{2}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, -1, 1) .

4. Направленный вектор  \overrightarrow{M_1M_2} :  \overrightarrow{M_1M_2} = (5-1, -4-1, 8-1) = (4, -5, 7) .

   Нормируем его:  |\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} .

   Единичный вектор:  \mathbf{e} = \left( \frac{4}{3\sqrt{10}}, \frac{-5}{3\sqrt{10}}, \frac{7}{3\sqrt{10}} \right) .

5. Направленная производная:  D_{\mathbf{e}} u = \nabla u \cdot \mathbf{e} = (1, -1, 1) \cdot \left( \frac{4}{3\sqrt{10}}, \frac{-5}{3\sqrt{10}}, \frac{7}{3\sqrt{10}} \right) .

    D_{\mathbf{e}} u = \frac{4}{3\sqrt{10}} + \frac{5}{3\sqrt{10}} + \frac{7}{3\sqrt{10}} = \frac{16}{3\sqrt{10}} .

Задание 6: Проверка потенциальности и соленоидальности

1. Потенциальность: Проверяем, является ли  \nabla \times \mathbf{a} = 0 .
2. Соленоидальность: Вычисляем дивергенцию  \nabla \cdot \mathbf{a} .

Задание 7: Вычисление работы

Используем интеграл:  W = \int_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} .

Разбираем параметризацию и вычисляем интеграл.

Если нужно детальное решение каждого пункта, сообщите! 😊