Вычисление определителя 3-го порядка различными методами

Условие:

Решить

Решение:

### Задание по алгебре — тема: "Определители". #### Задание 1: Вычисление определителя 3-го порядка различными методами. -------- ##### Определитель а: \[ D_a = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \\ 4 & 2 & 5 \end{vmatrix} \] **1. Применим правило треугольников (метод Сарруса):** Метод Сарруса подходит для матриц 3x3. Чтобы это сделать, к исходной матрице припишем ещё два первых столбца, а затем умножим по главной диагонали (прямые произведения) и боковой диагонали (задние произведения). \[ D_a = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \\ 4 & 2 & 5 \end{vmatrix} \] \[ \Rightarrow 1*1*5 + (-2)*(-5)*4 + 1*3*2 - (1*1*4 + 3*2*1 + (-2)*(-5)*5) \] Выполняем действия: \[ 1*1*5 = 5, \quad (-2)*(-5)*4 = 40, \quad 1*3*2 = 6 \] \[ 1*1*4 = 4, \quad 3*2*1 = 6, \quad (-2)*(-5)*5 = 50 \] Теперь вычислим сумму прямых произведений и сумму обратных произведений: \[ D_a = (5 + 40 + 6) - (4 + 6 + 50) = 51 - 60 = -9 \] Итак, определитель: \[ D_a = -9 \] -------- ##### Определитель b: \[ D_b = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 8 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] **1. Метод треугольников:** \[ D_b = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 8 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] \[ \Rightarrow (-1)*8*2 + 3*1*1 + 2*2*1 - (2*8*2 + (-1)*1*1 + 3*2*1) \] Выполняем действия: \[ (-1)*8*2 = -16, \quad 3*1*1 = 3, \quad 2*2*1 = 4 \] \[ 2*8*2 = 32, \quad (-1)*1*1 = -1, \quad 3*2*1 = 6 \] Теперь вычислим: \[ D_b = (-16 + 3 + 4) - (32 - 1 + 6) = -9 - 37 = -46 \] Ответ: \[ D_b = -46 \] -------- ##### Определитель в: \[ D_c = \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\ 8 & 7 & -2 \\ 2 & -1 & 8 \end{vmatrix} \] **1. Метод треугольников (метод Сарруса):** \[ D_c = \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\ 8 & 7 & -2 \\ 2 & -1 & 8 \end{vmatrix} \] \[ \Rightarrow 3*7*8 + 4*(-2)*2 + (-5)*8*(-1) - (2*7*(-5) + 8*(-1)*3 + 3*(-2)*8) \] Выполняем действия: \[ 3*7*8 = 168, \quad 4*(-2)*2 = -16, \quad (-5)*8*(-1) = 40 \] \[ 2*7*(-5) = -70, \quad 8*(-1)*3 = -24, \quad 3*(-2)*8 = -48 \] Теперь вычислим: \[ D_c = (168 - 16 + 40) - (-70 - 24 - 48) = 192 - (-142) = 192 + 142 = 334 \] Ответ: \[ D_c = 334 \] -------- #### Задание 2: Вычисление определителя 4-го порядка. ----- ##### Определитель а: \[ D_a = \begin{vmatrix} -3 & 6 & 12 \\ 2 & -4 & -8 \\ 7 & 5 & 9 \end{vmatrix} \] Это задание аналогично тому, что мы делали в пункте 1, но с большей матрицей.