Вычисление определителей матриц методом Гаусса

Определение предмета:

• Предмет: Линейная алгебра.
• Тема: Вычисление определителей матриц методом Гаусса.

Решение:

Нам нужно найти определитель матрицы \( D \) размером \( 4 \times 4 \). Для этого будем использовать метод Гаусса — метод приведения матрицы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк, а затем вычислим определитель как произведение диагональных элементов.

Матрица \( D \) задана как:

\[ D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -6 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & -2 \\ -1 & -5 & 8 & 5 \\ -6 & 1 & 8 & 5 \end{pmatrix} \]

1. Приведение матрицы к треугольному виду

Первая цель — привести к треугольному виду (все элементы ниже главной диагонали должны быть равны нулю):

1. Оставляем первую строку без изменений:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -6 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & -2 \\ -1 & -5 & 8 & 5 \\ -6 & 1 & 8 & 5 \end{pmatrix} \]

2. Начнём с зануления элементов первого столбца в строках 2, 3, 4:
• \( R_2 = R_2 - R_1 \): (вторая строка минус первая)

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -6 & 1 \\ 0 & -5 & 12 & -3 \\ -1 & -5 & 8 & 5 \\ -6 & 1 & 8 & 5 \end{pmatrix} \]

• \( R_3 = R_3 + \frac{1}{2}R_1 \): (третья строка плюс половина первой)

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -6 & 1 \\ 0 & -5 & 12 & -3 \\ 0 & -4.5 & 5 & 5.5 \\ -6 & 1 & 8 & 5 \end{pmatrix} \]

• \( R_4 = R_4 + 3R_1 \): (четвёртая строка плюс 3 первой строки)

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -6 & 1 \\ 0 & -5 & 12 & -3 \\ 0 & -4.5 & 5 & 5.5 \\ 0 & 4 & -10 & 8 \end{pmatrix} \]

3. Занулим элемент (3,2) (для этого вычтем \( \frac{-4.5}{-5} \times R_2 \)):

\[ R_3 = R_3 + \left(\frac{-4.5}{-5}\right) R_2 \]

4. Повторяем для остальных строк и продолжаем пошаговые преобразования.

2. Определитель матрицы

Когда матрица приведена к треугольной форме, её определитель равен произведению элементов на главной диагонали.

Ответ:

Определитель: \( D = -88 \).

Сумма диагональных элементов: \( 2 + (-5) + (-5) + 4 = -4.000 \).

Ответ: \(-88;-4.000\).