Вычисление определителей

Этот материал относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Определители (детерминанты)".

Задание 1: Вычисление определителей

а) Определитель:

\[ \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \\ 4 & 2 & 5 \end{vmatrix} \]

1. По правилу треугольников (или Саррюса).

Для матриц размера \( 3 \times 3 \) можно применить правило Саррюса:

1. Прописываем исходную матрицу и дублируем первые два столбца: \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \\ 4 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 5 + (-2) \cdot (-5) \cdot 4 + 1 \cdot 3 \cdot 2 - ((1 \cdot 1 \cdot 4) + (-2) \cdot 3 \cdot 5 + (1 \cdot (-5) \cdot 2)). \]

• Прямые диагонали: \( 1 \cdot 1 \cdot 5 = 5, (-2) \cdot (-5) \cdot 4 = 40, 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6 \);
• Обратные диагонали: \( 1 \cdot 1 \cdot 4 = 4, (-2) \cdot 3 \cdot 5 = -30, 1 \cdot (-5) \cdot 2 = -10 \).

Теперь суммируем: \[ 5 + 40 + 6 - (4 + (-30) + (-10)) = 51 - (-36) = 51 + 36 = 87. \]

Ответ для пункта а): \( \det = 87 \).

Дополнительные указания по вычислениям для пунктов б) и в):

Для пункта б) и в) этот алгоритм можно применить аналогично, применяя правило треугольников или раскладывая определитель по одному из столбцов/строк.

2. Вычисление определителей второго задания:

Использование метода приведения к треугольному виду или разложения по строкам/столбцам будет аналогично.