Вычисление объёмов тел с использованием поверхностей заданных в параметрической форме

Определение предмета

Это задание относится к высшей математике, а именно к разделу, связанному с множественными (кратными) интегралами и вычислением объёмов тел с использованием поверхностей, заданных в параметрической форме.

Шаг 1. Параметризация поверхности

Дана поверхность в параметрической форме: \[ x = u\cos(v), \quad y = u\sin(v), \quad z = -u + a\cos(u) \] Параметры \( u \) и \( v \) ограничивают поверхность.

Шаг 2. Условия плоскостей

Плоскости, которые ограничивают тело:

• \( x = 0 \) — это уравнение плоскости, проходящей через ось \( yz \).
• \( z = 0 \) — это уравнение еще одной плоскости.

Шаг 3. Найдём Якобиан преобразования

Для того чтобы найти объем тела, проще всего выразить его через тройной интеграл в параметрической системе координат. Чтобы это сделать, нужно вычислить якобиан перехода от декартовых координат к параметрической системе.

Вектор параметризации: \[ \mathbf{r}(u, v) = \langle x(u, v), y(u, v), z(u) \rangle = \langle u\cos v, u \sin v, -u + a \cos u \rangle \]

Нужно вычислить частные производные этого вектора по \( u \) и \( v \): \[ \mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = \langle \cos v, \sin v, -1 - a\sin u \rangle \] \[ \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \langle -u\sin v, u\cos v, 0 \rangle \]

Теперь найдём векторное произведение этих векторов: \[ \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos v & \sin v & -1-a\sin(u) \\ -u \sin v & u\cos v & 0 \end{vmatrix} \]

Раскроем определитель: \[ \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \langle u\cos v(0) - (-u \sin v)(-1 - a\sin u), u \sin v(0) - (-u\cos v)(-1 - a\sin u), \cos v u\cos v + \sin v(-u \sin v)\rangle \] \[ = \langle u + ua\sin u, u + ua\sin u, u \rangle \]

Найдем модуль этого вектора: \[ |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = \sqrt{(u + ua\sin u)^2 + (u + ua\sin u)^2 + u^2} \] \[ = 2u + 2ua \sin u \]

Шаг 4. Формула объёма

Формула объёма через двойной интеграл по параметрам \( u \) и \( v \): \[ V = \int\int | \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv \]

Для того чтобы найти пределы интегрирования для \( v \), заметим, что по окружности полного круга \( v \) будет меняться от \( 0 \) до \( 2\pi \). \( u \) изменяется от 0 до какого-то конечного значения \( b \), которую следует найти из условий задачи \( z = -u + a \cos u \).

Шаг 5. Уточнение условия

\[ 0 = -u + a \cos u \] Отсюда: \[ u = a \cos u \]

\( z = 0 \) Чтобы вычислить предел для \( u \), нужно воспользоваться условием \( z = 0 \). Подставим \( z = 0 \) в уравнение \( z = -u + a \cos u \):