Возведение числа i в различные степени

Для начала определим предмет вашего задания — это математика, а более конкретно — комплексные числа.

Давайте вспомним, что комплексное число \(i\) — это единичное мнимое число, которое по определению равно квадратному корню из -1: \[ i = \sqrt{-1}. \]

Теперь разберемся с возведением числа \(i\) в различные степени. Основное свойство мнимой единицы состоит в том, что его степени повторяются через каждые четыре возведения. Вот как это выглядит: \[ i^1 = i, \] \[ i^2 = -1, \] \[ i^3 = -i, \] \[ i^4 = 1. \]

После этого все следующие степени начинают повторяться циклически так же: \[ i^5 = i, \quad i^6 = -1, \quad i^7 = -i, \quad i^8 = 1, \quad \text{и так далее}. \]

Зная это, наша задача — найти степень \(i^{1981}\). Чтобы это сделать, нужно использовать остаток от деления степени на 4, потому что степени числа \(i\) повторяются с периодом 4. То есть нам нужно вычислить: \[ 1981 \mod 4. \]

Выполним деление 1981 на 4: \[ 1981 \div 4 = 495 \text{ целых}, \text{ и в остатке даёт } 1. \]

Это означает, что: \[ 1981 \mod 4 = 1. \]

Теперь используем это знание: так как остаток от деления 1981 на 4 равен 1, то фактически: \[ i^{1981} = i^1 = i. \]

Ответ: \(i^{1981} = i\).