В заданиях проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:методом Гаусса.

Предмет: Алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений, метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Нам дана система линейных уравнений:

\[ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 12, \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 16, \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 8. \end{cases} \]

Задача: проверить совместимость этой системы и, если она совместна, решить её методом Гаусса.

1. Запись системы в матричной форме:

Для применения метода Гаусса, запишем коэффициенты системы уравнений в виде расширенной матрицы:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 12 \\ 2 & 1 & 3 & 16 \\ 3 & 2 & 1 & 8 \end{pmatrix} \]

2. Приведение к треугольному виду.

Теперь начинаем приводить матрицу к треугольному виду.

Шаг 1: Обнуление первого элемента второго уравнения.

Чтобы обнулить элемент \( 2 \) во втором уравнении (первая колонка), вычтем из второй строки первую:

\[ R_2 \rightarrow R_2 - R_1 \]

\[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 12 \\ 0 & -2 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 8 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Обнуление элемента в третьей строке (первый элемент).

Обнуляем первый элемент третьей строки. Для этого вычтем первую строку, умноженную на \(\frac{3}{2}\), из третьей строки:

\[ R_3 \rightarrow R_3 - \frac{3}{2}R_1 \]

\[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 12 \\ 0 & -2 & 2 & 4 \\ 0 & -2.5 & -0.5 & 2 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Обнуление второго элемента третьей строки.

Чтобы обнулить второй элемент третьей строки, вычтем из третьей строки строку \( R_2 \), умноженную на \( \frac{5}{4} \):

\[ R_3 \rightarrow R_3 - \frac{5}{4}R_2 \]

\[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 12 \\ 0 & -2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \end{pmatrix} \]

3. Обратный ход метода Гаусса (решение системы).

Теперь, имея треугольную систему, можем решить её обратным ходом. Из третьего уравнения \( -3x_3 = -3\) находим:

\[ x_3 = \frac{-3}{-3} = 1. \]

Подставляем это значение в первое и второе уравнения.

Второе уравнение:

\[ -2x_2 + 2x_3 = 4, \]

\[ -2x_2 + 2 = 4, \quad -2x_2 = 2, \quad x_2 = -1. \]

Первое уравнение:

\[ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 12, \]

\[ 2x_1 + 3(-1) + 1 = 12, \quad 2x_1 - 3 + 1 = 12, \quad 2x_1 = 14, \quad x_1 = 7. \]

4. Ответ:

\[ x_1 = 7, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 1. \]

Система совместна. Решение системы: