В пространстве V3 задан оператор проектирования на ось вектора

Это задание относится к разделу линейной алгебры, а именно к теме линейных операторов, их матриц в различных базисах и ортогональных базисов.

Для решения задачи нам нужно выполнить следующие действия:

1. Определить матрицу оператора проектирования на ось заданного вектора в стандартном базисе \( \{ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \} \).
2. Найти ортогональный базис пространства \( V_3 \), в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

1. Составление матрицы оператора проектирования

Вектор, на ось которого производится проектирование: \[ \mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \]

Проектор \( P \) на вектор \( \mathbf{a} \) в стандартном базисе определяется как: \[ P = \frac{\mathbf{a} \mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T \mathbf{a}} \]

Сначала найдем длину вектора \( \mathbf{a} \): \[ \|\mathbf{a}\|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \]

Теперь найдем \( \mathbf{a} \mathbf{a}^T \): \[ \mathbf{a} \mathbf{a}^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{bmatrix} \]

Теперь применим формулу для проектора: \[ P = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{2}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{4}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \end{bmatrix} \]

Таким образом, матрица оператора проектирования в стандартном базисе: \[ P = \begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{2}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{4}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \end{bmatrix} \]

2. Построение ортогонального базиса

Чтобы построить ортогональный базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид, нужно найти собственные векторы и собственные значения матрицы \( P \). Собственные значения:

Решим характеристическое уравнение \( \det(P - \lambda I) = 0 \) для определения собственных значений: \[ \det \left( \begin{bmatrix} \frac{1}{9} - \lambda & \frac{2}{9} & -\frac{2}{9} \\ \frac{2}/{9} & \frac{4}/{9} - \lambda & -\frac{4}/{9} \\ -\frac{2}/{9} & -\frac{4}/{9} & \frac{4}/{9} - \lambda \end{bmatrix} \right) = 0 \]

Решив это уравнение, получим собственные значения: \( \lambda_1 = 1 \), \( \lambda_2 = 0 \), \( \lambda_3 = 0 \).

Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения. Собственный вектор для \( \lambda_1 = 1 \): \[ \left( \begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}/{9} & -\frac{2}/{9} \\ \frac{2}/{9} & \frac{4}/{9} & -\frac{4}/{9} \\ -\frac{2}/{9} & -\frac{4}/{9} & \frac{4}/{9} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0 \]

Уравнение после решения: \( x = y = -z \) То есть собственный вектор будет: \[ \mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем векторы для \( \lambda_2 = 0 \) и \( \lambda_3 = 0 \). Это будут векторы, ортогональные \( \mathbf{v_1} \) (например, методом Грама-Шмидта).

Результат проведенных вычислений: Первый из них: \[ \mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \] А второй: \[ \mathbf{v_3} = \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Ортогональный базис (после нормировки): \[ \mathbf{e_1} = \frac{1}/{3}\mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} \frac{1}/{3} \\ \frac{2}/{3} \\ -\frac{2}/{3} \end{bmatrix} \] \[ \mathbf{e_2} = \frac{1}/{\sqrt{5}}\mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} \frac{2}/{\sqrt{5}} \\ -\frac{1}/{\sqrt{5}} \\ 0 \end{bmatrix} \] \[ \mathbf{e_3} = \frac{1}/{\sqrt{21}}\mathbf{v_3} = \begin{bmatrix} -\frac{4}/{\sqrt{21}} \\ \frac{2}/{\sqrt{21}} \\ \frac{1}/{\sqrt{21}} \end{bmatrix} \]

Таким образом, найденный ортогональный базис: \( \left\{ \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \mathbf{e_3} \right\} \)

Теперь матрица оператора проектирования в этом базисе будет диагональной с собственными значениями на диагонали: \[ P_{\text{диаг}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

На этом решение задачи завершено.