В пространстве многочленов ℝ±І задан базисℬ = {є, є, є.}. Найти матрицу оператора дифференцирования C в этомбазисе

Этот вопрос относится к курсу линейной алгебры, конкретно к разделу "Линейные операторы и матрицы". Вам нужно найти матрицу оператора дифференцирования \( D \) в базисе \( \mathcal{B} = \{f_1, f_2, f_3\} \), где:

\[ f_1(x) = 2x^2 + x - 1 \]

\[ f_2(x) = x^2 \]

\[ f_3(x) = 3x^2 - 2 \]

Для этого шагаем через следующее:

1. Находим производные всех заданных функций.
2. Выражаем эти производные в терминах базисных многочленов.
3. Составляем матрицу оператора \( D \) с использованием координат векторов производных относительно базиса.

Шаг 1: Находим производные всех функций

\[ \begin{aligned} f_1(x) &= 2x^2 + x - 1 \quad \Rightarrow \quad f_1'(x) = 4x + 1, \\ f_2(x) &= x^2 \quad \Rightarrow \quad f_2'(x) = 2x, \\ f_3(x) &= 3x^2 - 2 \quad \Rightarrow \quad f_3'(x) = 6x. \end{aligned} \]

Шаг 2: Выражаем производные в терминах базисных многочленов

Производные необходимо записать как линейные комбинации базисных многочленов \( \{f_1, f_2, f_3\} \). Для этого найдем коэффициенты \( c_{ij} \) таких, что:

\[ Df_i = c_{i1}f_1 + c_{i2}f_2 + c_{i3}f_3 \quad \text{для} \ i=1,2,3 \]

Начнем с \( f_1' = 4x + 1 \):

\[ Df_1 = 4x + 1 = 4x + (1) \]

Распишу \( f_1(x), f_2(x), f_3(x) \) в виде векторов:

\[ \begin{aligned} f_1(x) &= 2x^2 + x - 1 \quad \Rightarrow (2, 1, -1), \\ f_2(x) &= x^2 \quad \Rightarrow (1, 0, 0), \\ f_3(x) &= 3x^2 - 2 \quad \Rightarrow (3, 0, -2). \end{aligned} \]

Шаг 3: Записываем производные в терминах базисных многочленов

Производные:

\[ f_1' = 4x + 1 = 0*f_1 + 0*f_2 + 1*f_3 \]

\[ f_2' = 2x = 0*f_1 + 0*f_2 + 2*f_3 \]

\[ f_3' = 6x = 0*f_1 + 0*f_2 + 6*f_3 \]

Теперь собираем матрицу \( D \):

\[ D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]