Установить соответствие между матрицами

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы и определители

Задача состоит в том, чтобы установить соответствие между матрицами ( A ), ( B ), ( C ) и их обратными матрицами ( A^{-1} ), ( B^{-1} ), ( C^{-1} ). Для этого нужно вычислить определитель каждой из данных матриц и найти их обратные матрицы.

1. Проверка матрицы ( A = \begin{pmatrix} 10 & -3 \ 5 & -1 \end{pmatrix} )

Определитель:

\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 10 & -3 \ 5 & -1 \end{vmatrix} = 10 \cdot (-1) - (-3) \cdot 5 = -10 + 15 = 5.

Обратная матрица:

Обратная матрица вычисляется по формуле: A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}, где ( A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} ).

Подставим значения: A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 3 \ -5 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.2 & 0.6 \ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Эта матрица соответствует пункту ( д ).

2. Проверка матрицы ( B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 3 & 2 \end{pmatrix} )

Определитель:

\text{det}(B) = \begin{vmatrix} 4 & 2 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2.

Обратная матрица:

B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1.5 & 2 \end{pmatrix}.

Эта матрица соответствует пункту ( а ).

3. Проверка матрицы ( C = \begin{pmatrix} 1 & 5 \ 2 & 8 \end{pmatrix} )

Определитель:

\text{det}(C) = \begin{vmatrix} 1 & 5 \ 2 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot 8 - 5 \cdot 2 = 8 - 10 = -2.

Обратная матрица:

C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -5 \ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2.5 \ 1 & -0.5 \end{pmatrix}.

Эта матрица соответствует пункту ( б ).

Ответ:

Соответствие между множествами: 1) A \to д; \, B \to а; \, C \to б.