Установить размерность пространства решений системы линейных уравнений и указать базис этого пространства

Условие:

Установите размерность пространства

Решение:

Предмет: Высшая математика Раздел: Линейная алгебра Задание: Установить размерность пространства решений системы линейных уравнений и указать базис этого пространства. Система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + x_3 + x_4 - x_5 = 0 \\ 2x_1 + x_2 - 2x_3 - x_4 - 2x_5 = 0 \\ 2x_1 + 2x_2 + 5x_3 - 2x_4 - x_5 = 0 \end{cases} \] ### Этапы решения: 1. **Составление матрицы системы**: Запишем коэффициенты уравнений в виде матрицы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 5 & -2 & -1 \end{pmatrix} \] 2. **Приведение матрицы к ступенчатому виду**: Применяем элементарные преобразования строк, чтобы получить ступенчатую форму. Отняв первую строку, умноженную на 2 от второй строки, получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 5 & -2 & -1 \end{pmatrix} \] Теперь, отняв первую строку, умноженную на 2 от третьей, получаем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь, отнимем вторую строку, умноженную на 2 от третьей, получаем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 11 & -10 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь система имеет 3 ведущих элемента \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\). Поэтому \(x_4\) и \(x_5\) будут свободными переменными. 3. **Размерность пространства решений**: Размерность пространства решений равна количеству свободных переменных. В данном случае это переменные \(x_4\) и \(x_5\), т.е. \( 2 \). 4. **Найти базис**: Выразим переменные \( x_1 \), \( x_2 \) и \( x_3 \) через \( x_4 \) и \( x_5 \): \[ \begin{cases} x_1 = -x_ 3 - x_4+ x_5\\ x_2 = 4x_3 + 3x_4\\ x_3 = x_3\\ x_4 = x_4\\ x_5 = x_5\\ \end{cases} \] Пусть \( x_3 = t \), \( x_4 = s \), и \( x_5 = r \), тогда: \[ \begin{cases} x_1 = -t - s + r\\ x_2 = 4t + 3s\\ x_3 = t\\ x_4 = s\\ x_5 = r\\ \end{cases} \] Теперь представим решения в виде линейной комбинации: 1. При \( t = 1 \), \( s = 0 \), \( r = 0 \): \[ (-1, 4, 1, 0, 0) \] 2. При \( t = 0 \), \( s = 1 \), \( r = 0 \): \[ (-1, 3, 0, 1, 0) \] 3. При \( t = 0 \), \( s = 0 \), \( r = 1 \): \[ (1, 0, 0, 0, 1) \] Базис свободного решения системы состоит из двух векторов: \[ \{(-1, 3, 0, 1, 0) , (1, 0, 0, 0, 1)\} \] Итак, размерность пространства решений равна 2, а его базис \(\{(-1, 3, 0, 1, 0) , (1, 0, 0, 0, 1)\}\).