Установить размерность пространства решений системы линейных уравнений и указать базис этого пространства

Условие:

Установите размерность пространства

Условие: Установите размерность пространства

Решение:

Предмет: Высшая математика
Раздел: Линейная алгебра
Задание: Установить размерность пространства решений системы линейных уравнений и указать базис этого пространства.

Система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + x_3 + x_4 - x_5 = 0 \\ 2x_1 + x_2 - 2x_3 - x_4 - 2x_5 = 0 \\ 2x_1 + 2x_2 + 5x_3 - 2x_4 - x_5 = 0 \end{cases} \]

Этапы решения:
  1. Составление матрицы системы: Запишем коэффициенты уравнений в виде матрицы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 5 & -2 & -1 \end{pmatrix} \]
  2. Приведение матрицы к ступенчатому виду: Применяем элементарные преобразования строк, чтобы получить ступенчатую форму. Отняв первую строку, умноженную на 2 от второй строки, получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 5 & -2 & -1 \end{pmatrix} \] Теперь, отняв первую строку, умноженную на 2 от третьей, получаем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь, отнимем вторую строку, умноженную на 2 от третьей, получаем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 11 & -10 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь система имеет 3 ведущих элемента \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\). Поэтому \(x_4\) и \(x_5\) будут свободными переменными.
  3. Размерность пространства решений: Размерность пространства решений равна количеству свободных переменных. В данном случае это переменные \(x_4\) и \(x_5\), т.е. \(2\).
  4. Найти базис: Выразим переменные \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) через \(x_4\) и \(x_5\): \[ \begin{cases} x_1 = -x_3 - x_4+ x_5\\ x_2 = 4x_3 + 3x_4\\ x_3 = x_3\\ x_4 = x_4\\ x_5 = x_5\\ \end{cases} \] Пусть \(x_3 = t\), \(x_4 = s\), и \(x_5 = r\), тогда: \[ \begin{cases} x_1 = -t - s + r\\ x_2 = 4t + 3s\\ x_3 = t\\ x_4 = s\\ x_5 = r\\ \end{cases} \] Теперь представим решения в виде линейной комбинации:
    1. При \(t = 1\), \(s = 0\), \(r = 0\): \[ (-1, 4, 1, 0, 0) \]
    2. При \(t = 0\), \(s = 1\), \(r = 0\): \[ (-1, 3, 0, 1, 0) \]
    3. При \(t = 0\), \(s = 0\), \(r = 1\): \[ (1, 0, 0, 0, 1) \]
    Базис свободного решения системы состоит из двух векторов: \[ \{(-1, 3, 0, 1, 0) , (1, 0, 0, 0, 1)\} \]

Итак, размерность пространства решений равна 2, а его базис \{(-1, 3, 0, 1, 0) , (1, 0, 0, 0, 1)\}.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн