Упорядочить матрицы по величине седлового элемента

Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра, определитель матрицы, седловой элемент

Задание: Упорядочить матрицы по величине седлового элемента.

Определение седлового элемента:
Седловой элемент матрицы — это элемент, который является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце (или наоборот, в зависимости от определения).

Рассмотрим каждую матрицу и найдем седловой элемент.

1. Матрица
    P_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -3 & 0 \end{pmatrix} 

Строки:

• Первая строка: 2, 1 (минимум — 1)
• Вторая строка: -3, 0 (минимум — -3)

Проверяем для каждого минимального элемента, является ли он максимальным в своем столбце:

• Элемент 1 (позиция (1,2)):
  Столбец 2: 1, 0 → максимум 1 → да, 1 – седловой элемент.

• Элемент -3 (позиция (2,1)):
  Столбец 1: 2, -3 → максимум 2, значит -3 не седловой элемент.

Седловой элемент: 1

2. Матрица
    P_2 = \begin{pmatrix} -1 & 5 \ 3 & 7 \end{pmatrix} 

Строки:

• Первая строка: -1, 5 (минимум — -1)
• Вторая строка: 3, 7 (минимум — 3)

Проверяем минимумы:

• Элемент -1 (позиция (1,1)):
  Столбец 1: -1, 3 → максимум 3, значит -1 не седловой элемент.

• Элемент 3 (позиция (2,1)):
  Столбец 1: -1, 3 → максимум 3, но 3 не минимальный в первой строке, а мы смотрим минимум в строке. Здесь 3 – минимум во второй строке, проверим, является ли максимумом в столбце. Да, 3 – максимум в столбце. Значит 3 – седловой элемент.

Седловой элемент: 3

3. Матрица
    P_3 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 6 & -4 \end{pmatrix} 

Строки:

• Первая строка: 5, 2 (минимум — 2)
• Вторая строка: 6, -4 (минимум — -4)

Проверяем минимумы:

• Элемент 2 (позиция (1,2)):
  Столбец 2: 2, -4 → максимум 2, значит 2 – седловой элемент.

• Элемент -4 (позиция (2,2)):
  Столбец 2: 2, -4 → максимум 2, значит -4 не седловой элемент.

Седловой элемент: 2

4. Матрица
    P_4 = \begin{pmatrix} -7 & -1 \ -4 & -3 \end{pmatrix} 

Строки:

• Первая строка: -7, -1 (минимум — -7)
• Вторая строка: -4, -3 (минимум — -4)

Проверяем минимумы:

• Элемент -7 (позиция (1,1)):
  Столбец 1: -7, -4 → максимум -4, значит -7 не седловой элемент.

• Элемент -4 (позиция (2,1)):
  Столбец 1: -7, -4 → максимум -4, -4 – минимум во второй строке, значит -4 – седловой элемент.

Седловой элемент: -4

Итог:
Седловые элементы матриц:
 P_1: 1, \quad P_2: 3, \quad P_3: 2, \quad P_4: -4 

Упорядочим матрицы по величине седлового элемента по возрастанию:
 P_4 (-4), \quad P_1 (1), \quad P_3 (2), \quad P_2 (3) 

Ответ:
 4 \quad 1 \quad 3 \quad 2