Теория многочленов и делимость многочленов

Задание относится к предмету "Математика", а именно разделу "Алгебра", под-разделу "Теория многочленов" и "Делимость многочленов".

Разбираем каждое утверждение:

1. Первое утверждение: \[ \text{Если многочлен } f(x) \text{ делится на многочлен } g(x), \text{ а } g(x) \text{ делится на } h(x), \text{ то } f(x) \text{ делится на } h(x). \] Это утверждение верное, так как выполняется транзитивность делимости: если \( f(x) \) делится на \( g(x) \) и \( g(x) \) делится на \( h(x) \), то \( f(x) \) делится на \( h(x) \).
2. Второе утверждение: \[ \text{Если многочлен } f(x) \text{ делится на многочлен } h(x), \text{ то } f(x) h(x) \text{ делится на } g(x). \] Это утверждение неверное. Многочлен \( f(x) h(x) \) не обязательно будет делиться на \( g(x) \), так как нет гарантии, что \( f(x) h(x) \) делится на \( g(x) \) просто из того, что \( f(x) \) делится на \( h(x) \). Это утверждение не следует из условий.
3. Третье утверждение: \[ \text{Если многочлен } f(x) \text{ делится на многочлен } g(x), \text{ то } f(x) \text{ делится на } c g(x), \text{ где } c \text{ — произвольный многочлен нулевой степени.} \] Это утверждение верное. Многочлен нулевой степени — это константа. Если \( f(x) \) делится на \( g(x) \), то делится и на \( c g(x) \), где \( c \) — константа, так как деление на константу не меняет кратность делимости.
4. Четвертое утверждение: \[ \text{Если многочлены } f(x) \text{ и } g(x) \text{ делятся на многочлен } h(x), \text{ то } f(x) + g(x) \text{ делится на } h(x). \] Это утверждение верное. Если два многочлена \( f(x) \) и \( g(x) \) делятся на \( h(x) \), то их сумма также делится на \( h(x) \), так как делимость сохраняется при сложении.

Ответ: Верные утверждения:

• Первое
• Третье
• Четвертое