Свойства определителей 4-го порядка. Способы вычисления определителей

Предмет и раздел предмета:

• Предмет: Математика
• Раздел: Линейная алгебра (точнее, теория матриц и определителей)

Свойства определителей 4-го порядка:

Определитель 4-го порядка – это числовое значение, которое можно вычислить для квадратной матрицы размером 4x4. Мы рассматриваем следующие основные свойства определителей:

1. Линейность: Если одну строку (или столбец) определителя можно представить как линейную комбинацию других строк (или столбцов), то сам определитель равен нулю.
2. Частичная линейность: Определитель линейно изменяется относительно любой строки (или столбца), если остальные строки (или столбцы) фиксированы.
3. Свойство треугольных матриц: Определитель верхне- или нижнетреугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали.
4. Меняя две строки (или два столбца) местами: Определитель меняет знак.
5. Замена строки (или столбца) на линейную комбинацию других строк (или столбцов): Определитель не изменится, если к одной строке (или столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (или столбцов).
6. Умножение строки (или столбца) на число: Если одну строку (или столбец) умножить на число, то определитель умножится на это число.
7. Определитель произведения матриц: Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Способы вычисления определителей 4-го порядка:

1. Разложение по строке или столбцу:
   • Выбираем строку или столбец, разложение по которому наиболее удобно (желательно выбирать строку или столбец с наибольшим количеством нулей).
   • Вычисляем миноры и кофакторы.
   • Составляем определитель, используя формулу разложения.
2. Метод Гаусса (Приведение к треугольному виду):
   • Приводим матрицу к верхнетреугольному виду с помощью элементарных преобразований строк.
   • Определитель равен произведению элементов на главной диагонали умноженному на знак, сменяемый при каждом обмене строк.
3. Разложение по минорам второго порядка:
   • Разложение произвести относительно миноров второго порядка, хотя это является менее удобным и эффективным способом для больших матриц.

Теперь давайте рассмотрим пример для практики. Возьмём матрицу 4x4:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 5 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 6 & 2 & 7 \\ 3 & 4 & 1 & 6 \end{pmatrix} \]

Объясним способ разложения по первой строке:

1. Разложение определителя матрицы \[A\] по первой строке: \[ \det(A) = 2C_{11} - 3C_{12} + 1C_{13} - 5C_{14} \] где \[C_{ij}\] - это алгебраический дополняющий минор, определяемый вычеркиванием строки \[i\] и столбца \[j\], которые содержат выбранный элемент.
2. Рассчитаем миноры \[C_{ij}\]:
   • \[\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 4(2*6 - 7*1) - 3(0*6 - 7*3) + 2(0*1 - 2*3) = 4*5 + 3*21 - 2*6 = 20 + 63 - 12 = 71\]
   • И аналогично считаем для других элементов:
   • \[\begin{vmatrix} 11 \end{vmatrix}\]
   • ...
3. Суммируем их согласно формуле.
4. Точно так же, можно завершить расчет для других алгебраических дополнений.