Среди несобственных интегралов первого и второго рода указать сходящиеся

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление (несобственные интегралы)

Задание: Среди несобственных интегралов первого и второго рода указать сходящиеся интегралы.

Рассмотрим каждый интеграл по отдельности:

1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x \sqrt{x+3}}\) Заметим, что при \(x \to \infty\), \(\sqrt{x+3} \approx \sqrt{x} \). Тогда \(\frac{1}{x \sqrt{x+3}} \approx \frac{1}{x \sqrt{x}} = \frac{1}{x^{3/2}}\). Интеграл \(\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{3/2}}\) сходит (так как \(\alpha = \frac{3}{2} > 1\)).
2. \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^5}}\) Заметим, что \(\sqrt{x^5} = x^{5/2}\). Тогда интеграл можно переписать как \(\int_{0}^{1} x^{-5/2} dx\). Этот интеграл расходится (так как \(\alpha = \frac{5}{2} \geq 1\)).
3. \(\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^5}}\) Заметим, что \(\sqrt{x^5} = x^{5/2}\). Тогда интеграл можно переписать как \(\int_{1}^{\infty} x^{-5/2} dx\). Этот интеграл сходится (так как \(\alpha = \frac{5}{2} > 1\)).
4. \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) Заметим, что при \(x \to 1\), \(\sqrt{1-x}\) стремится к 0. Рассмотрим интеграл в виде \(\int_{0}^{1} (1-x)^{-1/2} dx\). Этот интеграл сходит (так как значение функции при \(x \to 1-\) является допустимым для сходимости).
5. \(\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x^5}}\) Заметим, что \(\sqrt{x^5} = x^{5/2}\). Тогда интеграл можно переписать как \(\int_{0}^{2} x^{-5/2} dx\). В промежутке от 0 до 2 рассматривается поведение функции около нуля. Этот интеграл расходится (так как \(\alpha = \frac{5}{2} \geq 1\)).

Собираем сходящиеся интегралы:

Интегралы номер 1, 3 и 4 сходятся.

Ответ: 1 3 4