Задание:
"Составить уравнение плоскости, проходящей через точку C, перпендикулярной прямой AB." Данное задание относится к предмету аналитическая геометрия.
Условие:
- Точка A (2,1,1)
- Точка B (1,3,0)
- Точка C (2,0,4)
Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной прямой AB.
Алгоритм решения:
- Найдем вектор AB. Вектор AB может быть вычислен как разность координат конечной точки и начальной, то есть:
\[ \vec{AB} = B - A = (1 - 2, 3 - 1, 0 - 1) = (-1, 2, -1) \]
- Уравнение плоскости. Уравнение плоскости имеет вид:
\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]
где \( (x_0, y_0, z_0) \) — точка, через которую проходит плоскость (в нашем случае это точка C (2; 0; 4)), а \( (A, B, C) \) — нормальный вектор плоскости.
- Нормальный вектор. Поскольку плоскость перпендикулярна прямой AB, вектор \( \vec{AB} \) будет нормальным вектором плоскости. Значит, нормальный вектор плоскости — это \( (-1, 2, -1) \).
- Подставим значения в уравнение плоскости. Мы знаем нормальный вектор плоскости \( (-1, 2, -1) \) и точку \( C(2, 0, 4) \), через которую проходит плоскость. Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
\[ -1(x - 2) + 2(y - 0) - 1(z - 4) = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ -x + 2 + 2y - z + 4 = 0 \]
Приведем к стандартному виду:
\[ -x + 2y - z + 6 = 0 \]
Или:
\[ x - 2y + z = 6 \]
Ответ: