Составь обратную матрицу А

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Обратные матрицы

Обратная матрица \( A^{-1} \) существует, если матрица \( A \) квадратная и её определитель (\( \det(A) \)) не равен нулю.

Давайте подробно решим задачу:

Данная матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]

Шаг 1. Вычислим \( \det(A) \)

Формула для определителя \( 3 \times 3 \)-матриц:

\[ \det(A) = a_{11} \cdot \det(M_{11}) - a_{12} \cdot \det(M_{12}) + a_{13} \cdot \det(M_{13}), \]

где \( \det(M_{ij}) \) — это минор (определитель матрицы \( 2 \times 2 \), полученной удалением \( i \)-й строки и \( j \)-го столбца из \( A \)).

Теперь вычислим:

• Подставляем элементы \( A \): \( a_{11} = 1 \), \( a_{12} = 2 \), \( a_{13} = 3 \).

Минор \( M_{11} \):

\[ M_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(M_{11}) = (0)(-1) - (1)(1) = -1. \]

Минор \( M_{12} \):

\[ M_{12} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(M_{12}) = (-1)(-1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1. \]

Минор \( M_{13} \):

\[ M_{13} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det(M_{13}) = (-1)(1) - (0)(2) = -1. \]

Теперь подставим всё в формулу:

\[ \det(A) = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) = -1 + 2 - 3 = -2. \]

Определитель \( \det(A) = -2 \neq 0 \), следовательно, обратимая матрица существует.

Шаг 2. Найдём матрицу алгебраических дополнений (кофакторов)

Алгебраическое дополнение \( C_{ij} \) для элемента \( i,j \) выражается как:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(M_{ij}), \]

Шаг 2.1 Найдём все дополнения

Строка 1:

• \[ C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \det(M_{11}) = (1) \cdot (-1) = -1, \]
• \[ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \det(M_{12}) = (-1) \cdot (-1) = 1, \]
• \[ C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \det(M_{13}) = (1) \cdot (-1) = -1. \]

Строка 2:

• \[ C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \det(M_{21}) = (-1) \cdot (1) = -1, \]
• \[ C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \det(M_{22}) = (1) \cdot (-7) = -7, \]
• \[ C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \det(M_{23}) = (-1) \cdot ---

где \( \det(M_{ij}) \) — соответствующий минор \( 2 \times 2 \).