Собственные значения и собственные векторы матрицы

Данное задание относится к предмету "линейная алгебра", раздел "собственные значения и собственные векторы матрицы".

Нам дана матрица: \( A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} \) и требуется найти её собственные числа. Собственные числа матрицы \(A\) — это решения характеристического уравнения: \( \det(A - \lambda I) = 0 \)

Где \( \lambda \) - собственное число и \(I\) - единичная матрица: \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Сначала найдём матрицу \( A - \lambda I \):

\( A - \lambda I = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - \lambda & 4 \\ 8 & 9 - \lambda \end{pmatrix} \)

Теперь найдём определитель этой матрицы и приравняем его к нулю:

\( \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 5 - \lambda & 4 \\ 8 & 9 - \lambda \end{pmatrix} = (5 - \lambda)(9 - \lambda) - 8 \cdot 4 \)

Рассчитаем:

\( (5 - \lambda)(9 - \lambda) = 45 - 14\lambda + \lambda^2 \)

\( 8 \cdot 4 = 32 \)

\( \det(A - \lambda I) = 45 - 14\lambda + \lambda^2 - 32 = \lambda^2 - 14\lambda + 13 \)

Теперь приравняем уравнение к нулю и решим квадратное уравнение:

\( \lambda^2 - 14\lambda + 13 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 196 - 52 = 144 \)

Найдём корни уравнения:

\( \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{14 \pm 12}{2} \)

Получаем:

\( \lambda_1 = \frac{26}{2} = 13 \)

\( \lambda_2 = \frac{2}{2} = 1 \)

Таким образом, собственные числа данной матрицы:

\( \lambda_1 = 13 \)

\( \lambda_2 = 1 \)

Это соответствует пункту (c) в задания. Ответ: (c) \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 13\)