Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Решение:

Дан оператор зеркального отражения относительно плоскости
z + 29y + 39z = 0.

Нужно доказать, что \lambda = 1 является собственным значением этого оператора и найти соответствующий собственный вектор вида (\alpha, 29, 32).

1. Уравнение плоскости

Пусть уравнение плоскости задано в виде:
z + 29y + 39z = 0.
Ее нормальный вектор:
\mathbf{n} = (1, 29, 39).

2. Формула отражения точки относительно плоскости

Если точка \mathbf{r} = (x, y, z) отражается относительно плоскости с нормальным вектором \mathbf{n}, то ее образ \mathbf{r'} вычисляется по формуле:

 \mathbf{r'} = \mathbf{r} - 2 \frac{(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n})}{\|\mathbf{n}\|^2} \mathbf{n} 

где \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} — скалярное произведение векторов.

3. Проверка собственного вектора

Пусть собственный вектор имеет вид (\alpha, 29, 32).
Тогда его скалярное произведение с нормальным вектором:

 \alpha \cdot 1 + 29 \cdot 29 + 32 \cdot 39 = \alpha + 841 + 1248 = \alpha + 2089. 

Подставляя в формулу отражения:

 \mathbf{r'} = (\alpha, 29, 32) - 2 \frac{\alpha + 2089}{1^2 + 29^2 + 39^2} (1, 29, 39). 

Вычислим \|\mathbf{n}\|^2:

 1^2 + 29^2 + 39^2 = 1 + 841 + 1521 = 2363. 

Тогда

 \mathbf{r'} = (\alpha, 29, 32) - 2 \frac{\alpha + 2089}{2363} (1, 29, 39). 

Для того чтобы вектор (\alpha, 29, 32) оставался неизменным (то есть был собственным вектором с собственным значением \lambda = 1), должно выполняться:

 2 \frac{\alpha + 2089}{2363} = 0. 

Следовательно,

 \alpha + 2089 = 0 \Rightarrow \alpha = -2089. 

Ответ:

\alpha = -2089.