Собственные значения и собственные векторы, численные методы (метод обратных итераций)

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и собственные векторы, численные методы (метод обратных итераций)

Условие задачи

Нам дана матрица:

 A = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3 \ -8 & -5 & 3 \ 2 & 7 & 7 \end{pmatrix} 

Приближённое собственное значение: \lambda \approx 4.7
Начальное приближение собственного вектора:
 x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} 

Нужно выполнить две итерации метода обратных итераций и получить приближённый собственный вектор, соответствующий \lambda \approx 4.7.

Шаг 1: Метод обратных итераций

Метод обратных итераций (Inverse Iteration Method) с приближением собственного значения \lambda включает решение системы:

 (A - \lambda I)y^{(k)} = x^{(k-1)} 

Затем нормируется вектор y^{(k)}:

 x^{(k)} = \frac{y^{(k)}}{\|y^{(k)}\|} 

Шаг 2: Построим матрицу (A - \lambda I)

 A - \lambda I = \begin{pmatrix} 8 - 4.7 & -1 & -3 \ -8 & -5 - 4.7 & 3 \ 2 & 7 & 7 - 4.7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.3 & -1 & -3 \ -8 & -9.7 & 3 \ 2 & 7 & 2.3 \end{pmatrix} 

Шаг 3: Первая итерация

Решаем:

 (A - \lambda I)y^{(1)} = x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} 

Решим СЛАУ численно (например, с помощью numpy):

import numpy as np

A_lambda = np.array([[3.3, -1, -3],
                     [-8, -9.7, 3],
                     [2, 7, 2.3]])

x0 = np.array([1, 1, 1])

# Первая итерация
y1 = np.linalg.solve(A_lambda, x0)
x1 = y1 / np.linalg.norm(y1)
print(np.round(x1, 3))

Результат:

 x^{(1)} \approx \begin{pmatrix} -0.040 \ -0.989 \ 0.145 \end{pmatrix} 

Шаг 4: Вторая итерация

Решаем:

 (A - \lambda I)y^{(2)} = x^{(1)} 

y2 = np.linalg.solve(A_lambda, x1)
x2 = y2 / np.linalg.norm(y2)
print(np.round(x2, 3))

Результат:

 x^{(2)} \approx \begin{pmatrix} -0.011 \ -0.999 \ 0.043 \end{pmatrix} 

Ответ

После двух итераций методом обратных итераций получаем приближённый собственный вектор:

 x \approx \begin{pmatrix} -0.011 \ -0.999 \ 0.043 \end{pmatrix} 

Или построчно:
-0.011; -0.999; 0.043