Скалярные произведения векторов в базисе

Условие:

Решение:

Этот вопрос относится к предмету линейной алгебры и рассматривает понятие матрицы Грама. Матрица Грама используется для нахождения скалярных произведений векторов в данном базисе. Она симметрична и показывает, как вектора связаны через скалярное произведение. Матрица Грама в данном случае: \[ G = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] Элемент на главной диагонали матрицы Грама \(G_{ii}\) представляет скалярное произведение вектора \(e_i\) с самим собой, что соответствует квадрату длины этого вектора. То есть, эти элементы являются квадратами длин векторов в базисе \(\{e_1, e_2, e_3\}\). Во втором примере нас интересует длина вектора \( e_2 \). Это соответствует элементу \( G_{22} \), который равен 5. Следовательно, длина вектора \( e_2 \) равна \( \sqrt{G_{22}} = \sqrt{5} \). Ответ: \(\sqrt{5}\).