Скалярные произведения векторов в базисе

Этот вопрос относится к предмету линейной алгебры и рассматривает понятие матрицы Грама. Матрица Грама используется для нахождения скалярных произведений векторов в данном базисе. Она симметрична и показывает, как вектора связаны через скалярное произведение. Матрица Грама в данном случае: G = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} Элемент на главной диагонали матрицы Грама G_{ii} представляет скалярное произведение вектора e_i с самим собой, что соответствует квадрату длины этого вектора. То есть, эти элементы являются квадратами длин векторов в базисе \{e_1, e_2, e_3\}. Во втором примере нас интересует длина вектора e_2. Это соответствует элементу G_{22}, который равен 5. Следовательно, длина вектора e_2 равна \sqrt{G_{22}} = \sqrt{5}. Ответ: \sqrt{5}.