Скаляное произведение и матрица Грама

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
Скаляное произведение и матрица Грама

Условие:

Условие: какой ответ

Решение:

Предмет: Линейная алгебра

Раздел предмета: Скаляное произведение и матрица Грама

Вопрос задан следующим образом: "В базисе $$e = {e_{1}, e_{2}, e_{3}} $$ матрица Грама имеет вид $$(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{matrix}) $$ . Чему равно скалярное произведение векторов $$e_{1} $$ и $$e_{2} $$ ?"

Матрица Грама $$G $$ для базиса $${e_{1}, e_{2}, e_{3}} $$ содержит элементы, которые являются скалярными произведениями базисных векторов:

$\[G = (\begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{3} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{3} ⟩ \\ ⟨ e_{3}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{3}, e_{2} ⟩ & ⟨ e_{3}, e_{3} ⟩ \end{matrix}) \]$

Элементы этой матрицы представляют собой значения скалярных произведений:

$\[(\begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{3} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{3} ⟩ \\ ⟨ e_{3}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{3}, e_{2} ⟩ & ⟨ e_{3}, e_{3} ⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{matrix}) \]$

Скалярное произведение $$⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ $$ находится на пересечении первой строки и второго столбца матрицы Грама (или, так как матрица симметричная, на пересечении второй строки и первого столбца). Это значение равно $$- 1 $$ .

Таким образом, скалярное произведение векторов $$e_{1} $$ и $$e_{2} $$ равно $$- 1 $$ .

Ответ: -1.

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!