Скаляное произведение и матрица Грама

Предмет: Линейная алгебра

Раздел предмета: Скаляное произведение и матрица Грама

Вопрос задан следующим образом: "В базисе \( e = \{e_1, e_2, e_3\} \) матрица Грама имеет вид \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}\). Чему равно скалярное произведение векторов \( e_1 \) и \( e_2 \)?"

Матрица Грама \( G \) для базиса \( \{e_1, e_2, e_3\} \) содержит элементы, которые являются скалярными произведениями базисных векторов:

\[ G = \begin{pmatrix} \langle e_1, e_1 \rangle & \langle e_1, e_2 \rangle & \langle e_1, e_3 \rangle \\ \langle e_2, e_1 \rangle & \langle e_2, e_2 \rangle & \langle e_2, e_3 \rangle \\ \langle e_3, e_1 \rangle & \langle e_3, e_2 \rangle & \langle e_3, e_3 \rangle \\ \end{pmatrix} \]

Элементы этой матрицы представляют собой значения скалярных произведений:

\[ \begin{pmatrix} \langle e_1, e_1 \rangle & \langle e_1, e_2 \rangle & \langle e_1, e_3 \rangle \\ \langle e_2, e_1 \rangle & \langle e_2, e_2 \rangle & \langle e_2, e_3 \rangle \\ \langle e_3, e_1 \rangle & \langle e_3, e_2 \rangle & \langle e_3, e_3 \rangle \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \]

Скалярное произведение \(\langle e_1, e_2 \rangle\) находится на пересечении первой строки и второго столбца матрицы Грама (или, так как матрица симметричная, на пересечении второй строки и первого столбца). Это значение равно \(-1\).

Таким образом, скалярное произведение векторов \( e_1 \) и \( e_2 \) равно \(-1\).

Ответ: -1.