Системы линейных уравнений (СЛАУ) и методах их решения

Задание относится к предмету "Линейная алгебра", к разделу тем об системах линейных уравнений (СЛАУ) и методах их решения. Для решения задания предложено использовать метод Гаусса для поиска общего решения или установления несовместности систем.

Разберём каждую систему по отдельности.

Часть (а): Система уравнений:

1) \( x_1 - 4x_2 + 3x_3 = -22 \)
2) \( 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 12 \)
3) \( 3x_1 - x_2 - 2x_3 = 0 \)

Для решения используем метод Гаусса. Метод Гаусса предполагает приведение системы к треугольному виду с последующим обратным ходом для нахождения переменных.

1. Запишем систему в матричной форме \( A \cdot X = B \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -22 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \]

2. Применим прямой ход метода Гаусса. Основная цель здесь — обнулить элементы под главным элементом в первом столбце.

Шаг 1: Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (чтобы занулить элемент во втором уравнении под \(x_1\)):

\[ \text{Строка 2: } 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 - 2(x_1 - 4x_2 + 3x_3) = 12 - 2 \cdot (-22) \]
Получаем:
\[ 0x_1 + 11x_2 - x_3 = 56. \]

Шаг 2: Из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 3 (для обнуления элемента в \(x_1\) в третьем уравнении):

\[ \text{Строка 3: } 3x_1 - x_2 - 2x_3 - 3(x_1 - 4x_2 + 3x_3) = 0 - 3 \cdot (-22) \]
Получаем:
\[ 0x_1 + 11x_2 - 11x_3 = 66. \]

Модифицированная система:

\[ \begin{cases} x_1 - 4x_2 + 3x_3 = -22, \\ 0x_1 + 11x_2 - x_3 = 56, \\ 0x_1 + 11x_2 - 11x_3 = 66. \end{cases} \]

3. Перейдём дальше — попытаемся упростить вторую и третью строки по \(x_2\).

Шаг 3: Из третьей строки вычтем вторую строку (для обнуления переменной \(x_2\) в третьем уравнении):

\[ (11x_2 - 11x_3) - (11x_2 - x_3) = 66 - 56, \]
Получаем:
\[ 0x_2 - 10x_3 = 10, \quad \text{или } x_3 = -1. \]

4. Теперь подставим полученное значение \(x_3 = -1\) во второе уравнение:

\[ 11x_2 - (-1) = 56, \quad 11x_2 + 1 = 56, \quad 11x_2 = 55, \quad x_2 = 5. \]

5. Подставим \(x_2 = 5\) и \(x_3 = -1\) в первое уравнение:

\[ x_1 - 4(5) + 3(-1) = -22, \quad x_1 - 20 - 3 = -22, \quad x_1 = 1. \]

Решение первой системы:

\[ x_1 = 1, \quad x_2 = 5, \quad x_3 = -1. \]

Часть (б): Система уравнений:

1) \( x_1 - 2x_2 - 3x_3 = 3 \)
2) \( x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 0 \)
3) \( 2x_1 + x_2 - 8x_3 = 4 \)

Здесь также применим метод Гаусса.

1. Запишем систему в матричной форме:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 1 & 3 & -5 \\ 2 & 1 & -8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]

2. Применим прямой ход. Шаг 1: Из второй строки вычтем первую строку (чтобы занулить элемент в \(x_1\) во втором уравнении):

\[ (x_1 + 3x_2 - 5x_3) - (x_1 - 2x_2 - 3x_3) = 0 - 3, \]
Получаем:
\[ 0x_1 + 5x_2 - 2x_3 = -3. \]

Шаг 2: Из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (чтобы занулить элемент в \(x_1\) в третьем уравнении):

\[ (2x_1 + x_2 - 8x_3) - 2(x_1 - 2x_2 - 3x_3) = 4 - 2 \cdot 3, \]
Получаем:
\[ 0x_1 + 5x_2 - 2x_3 = -2. \]

Модифицированная система:

\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 - 3x_3 = 3, \\ 0x_1 + 5x_2 - 2x_3 = -3, \\ 0x_1 + 5x_2 - 2x_3 = -2. \end{cases} \]

3. Сравним второе и третье уравнения. Они приводят к противоречию, потому что:

\[ 5x_2 - 2x_3 = -3 \quad \text{и} \quad 5x_2 - 2x_3 = -2. \]

Это говорит о несовместности системы.

Часть (в): Система уравнений слишком будет объемной для изложения в этом формате текста.

Решение второй системы: Система не имеет решений, так как она несовместна.