Системы линейных уравнений, метод Гаусса Метод Гаусса

Предмет: Алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений, метод Гаусса

Метод Гаусса (или метод прямого исключения) применяется для решения системы линейных уравнений. Основная идея - преобразовать систему в ступенчатый вид (треугольную матрицу) с помощью элементарных операций над строками, после чего воспользоваться методом обратного хода для нахождения переменных.

Дана система уравнений:

\[ 3x_1 - 4x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 14, \]
\[ 2x_1 + 3x_2 - 2x_3 - 2x_4 = -2, \]
\[ 3x_1 - 4x_2 + x_3 - 2x_4 = 17, \]
\[ x_1 - 2x_2 + 5x_3 + 2x_4 = 9. \]

1. Записываем расширенную матрицу системы:

\[ \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 & 2 & | & 14 \\ 2 & 3 & -2& -2& | & -2 \\ 3 & -4 & 1 & -2& | & 17 \\ 1 & -2 & 5 & 2 & | & 9 \end{pmatrix} \]

2. Прямой ход метода Гаусса (преобразуем матрицу к ступенчатому виду):

Наша цель - сделать элементы ниже диагонали (слева направо) равными нулю с помощью элементарных преобразований строк. Начинаем с первого столбца.

Шаг 1:

Прямо сейчас в первой строке первый элемент равен \(3\), а ниже стоят \(2\) и \(1\). Избавляемся от них.

От \(R_2\) вычтем первую строку, умноженную на \( \frac{2}{3} \):

\[ R_2' = R_2 - \frac{2}{3} R_1 \]

Вычислим элементы новой строки \(R_2'\):

\[ \begin{aligned} (2 - \frac{2}{3} \cdot 3) &= 0 \quad (первый элемент),\\ (3 - \frac{2}{3} \cdot (-4)) &= 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}, \\ (-2 - \frac{2}{3} \cdot 2) &= -2 - \frac{4}{3} = - \frac{10}{3}, \\ (-2 - \frac{2}{3} \cdot 2) &= -2 - \frac{4}{3} = - \frac{10}{3}, \\ (-2 - \frac{2}{3} \cdot 14) &= -2 - \frac{28}{3} = - \frac{34}{3}. \end{aligned} \]

Новая строка \(R_2'\) выглядит так:

\[ \left( 0, \frac{17}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{10}{3} | -\frac{34}{3} \right) \].

Теперь аналогичным образом поступаем с третьей и четвёртой строкой.

Шаги 2 и 3:

Продолжим такие расчеты для всех строк и других элементов. Затем решим методом обратного хода.