Системы линейных уравнений, фундаментальные решения однородных систем

Определение предмета и раздела:

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Системы линейных уравнений, фундаментальные решения однородных систем

Решение:

Дана система линейных однородных алгебраических уравнений:

 \begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 0, \ 2x_1 - x_2 + 3x_3 - x_4 = 0, \ 4x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0. \end{cases} 

1. Запишем систему в матричном виде:

Система имеет вид AX = 0, где:

 A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \ 2 & -1 & 3 & -1 \ 4 & 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix}, \quad 0 = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}. 

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду.

Применим элементарные преобразования строк для упрощения:

1. Вычтем удвоенную первую строку из второй:  \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \ 0 & -3 & 7 & -5 \ 4 & 1 & -1 & 3 \end{bmatrix} 

2. Вычтем учетверенную первую строку из третьей:  \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \ 0 & -3 & 7 & -5 \ 0 & -3 & 7 & -5 \end{bmatrix} 

3. Видно, что третья строка совпадает со второй, поэтому удаляем её:  \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \ 0 & -3 & 7 & -5 \end{bmatrix} 

3. Выразим переменные через свободные параметры.

Из первой строки:  x_1 = -x_2 + 2x_3 - 2x_4. 

Из второй строки:  x_2 = \frac{7}{3} x_3 - \frac{5}{3} x_4. 

Подставляем x_2 в уравнение для x_1:  x_1 = -\left(\frac{7}{3} x_3 - \frac{5}{3} x_4\right) + 2x_3 - 2x_4. 

Упрощаем:  x_1 = -\frac{7}{3} x_3 + \frac{5}{3} x_4 + 2x_3 - 2x_4. 

 x_1 = \frac{-7 + 6}{3} x_3 + \frac{5 - 6}{3} x_4. 

 x_1 = -\frac{1}{3} x_3 - \frac{1}{3} x_4. 

4. Запишем общее решение:

Пусть x_3 = t, x_4 = s, где t и s — свободные параметры.

Тогда:  \begin{cases} x_1 = -\frac{1}{3} t - \frac{1}{3} s, \ x_2 = \frac{7}{3} t - \frac{5}{3} s, \ x_3 = t, \ x_4 = s. \end{cases} 

Запишем в векторной форме:  X = t \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \ \frac{7}{3} \ 1 \ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \ -\frac{5}{3} \ 0 \ 1 \end{bmatrix}. 

Это и есть фундаментальная система решений. Следовательно, базис пространства решений состоит из двух векторов:

 \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \ \frac{7}{3} \ 1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \ -\frac{5}{3} \ 0 \ 1 \end{bmatrix}. 

Ответ:

Фундаментальная система решений:  X = t \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \ \frac{7}{3} \ 1 \ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \ -\frac{5}{3} \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad t, s \in \mathbb{R}.