Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Задание относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)"

В данном случае представлена система линейных уравнений, и необходимо либо решить её, либо исследовать на совместность и найти общее решение.

Система уравнений:

$\text{[}\{\begin{array}{l}{x}_1-x_3+x_5=0,\\ x_2-x_4+x_6=0,\\ x_1-x_2+x_5-x_6=0,\\ x_2-x_3+x_6=0,\\ x_1-x_4+x_5=0.\end{array}\text{]}$

Шаг 1: Записываем матричную форму

Это система линейных уравнений от 6 переменных $\text{(}{x}_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\text{)}$. Мы можем записать эту систему в виде матрицы, где слева будет матрица коэффициентов, умноженная на столбец переменных, а справа — столбец свободных членов (в данном случае все свободные члены равны 0).

Матрица коэффициентов выглядит следующим образом:

$\text{[}\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& -1& 0& 1\\ 1& -1& 0& 0& 1& -1\\ 0& 1& -1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& -1& 1& 0\end{array}\right)\text{]}$

Переменные:

$\text{[}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\end{array}\right)\text{]}$

Система в матричной форме выглядит как:

$\text{[}A\cdot \mathbf{x}=0.\text{]}$

Где матрица $\text{(}A\text{)}$ — это матрица коэффициентов, а столбец $\text{(}\mathbf{x}\text{)}$ — вектор переменных. Справа стоит нулевой вектор.

Шаг 2: Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)

Для решения системы воспользуемся методом Гаусса, что подразумевает приведение матрицы к ступенчатому виду (или к треугольной форме).

1. Упрощаем первую строку. Первая строка: $\text{(}{x}_1-x_3+x_5=0\text{)}$.
2. Вычитаем первую строку из других для исключения первых элементов:

$\text{[}{x}_2-x_4+x_6=0,x_1-x_2+x_5-x_6=0,x_2-x_3+x_6=0,x_1-x_4+x_5=0.\text{]}$

Мы видим, что любые 6 переменных можно выразить через друг друга, и как минимум нужно выделить параметрическое решение.

Шаг 3: Анализ ранга матрицы

Теперь мы можем анализировать ранги для нахождения общего решения. Однако на данном этапе можно утверждать, что система имеет бесконечное множество решений, поскольку у нас больше переменных, чем уравнений.

Ответ:

Поскольку система однородная (все правые части равны нулю), минимальное решение системы — это $\text{(}{x}_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=0\text{)}$, то есть нулевое решение.