Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Для решения задачи надо определить предмет и раздел предмета, к которому она относится.
Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия
Задача: Найти систему неравенств, определяющих треугольник
\( \triangle ABC \), где вершины треугольника заданы координатами:
\( A(-1, -2) \),
\( B(1, 3) \), и
\( C(4, -1) \).
Пошаговое решение задачи:
Систему неравенств, определяющих треугольник, можно получить из уравнений прямых, которые задают стороны треугольника. При этом каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Чтобы оставить только область внутри треугольника, нужно правильно подобрать знак неравенства на каждой стороне.
Формула уравнения прямой по двум точкам:
\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1), \]
где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) – координаты двух точек на прямой.
Мы преобразуем это уравнение в стандартный вид
\[ Ax + By + C = 0, \]
а затем определим, какие знаки неравенств использовать.
Координаты точки \( A(-1, -2) \) и \( B(1, 3) \):
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-2)}{1 - (-1)} = \frac{5}{2}. \]
Уравнение:
\[ y - (-2) = \frac{5}{2}(x - (-1)), \quad \text{или} \quad y + 2 = \frac{5}{2}(x + 1). \]
Приведем к виду \( Ax + By + C = 0 \):
\[ 2(y + 2) = 5(x + 1), \quad 2y + 4 = 5x + 5, \quad 5x - 2y + 1 = 0. \]
Уравнение прямой \( AB \):
\[ 5x - 2y + 1 = 0. \]
Координаты точки \( B(1, 3) \) и \( C(4, -1) \):
\[ k = \frac{-1 - 3}{4 - 1} = \frac{-4}{3}. \]
Уравнение:
\[ y - 3 = \frac{-4}{3}(x - 1). \]
Приведем к виду \( Ax + By + C = 0 \):
\[ 3(y - 3) = -4(x - 1), \quad 3y - 9 = -4x + 4, \quad 4x + 3y - 13 = 0. \]
Уравнение прямой \( BC \):
\[ 4x + 3y - 13 = 0. \]
Координаты точки \( C(4, -1) \) и \( A(-1, -2) \):
\[ k = \frac{-2 - (-1)}{-1 - 4} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}. \]
Уравнение:
\[ y - (-1) = \frac{1}{5}(x - 4), \quad y + 1 = \frac{1}{5}(x - 4). \]
Приведем к виду \( Ax + By + C = 0 \):
\[ 5(y + 1) = x - 4, \quad 5y + 5 = x - 4, \quad x - 5y - 9 = 0. \]
Уравнение прямой \( CA \):
\[ x - 5y - 9 = 0. \]
Чтобы определить знаки неравенств, подставляем координаты любой точки, находящейся внутри треугольника, в каждую из прямых.
Проверим точку \( (0, 0) \) (удобно, если она внутри треугольника).
\[ 5(0) - 2(0) + 1 = 1 > 0,\ \text{значит, правильное неравенство:}\ 5x - 2y + 1 \geq 0. \]
\[ 4(0) + 3(0) - 13 = -13 < 0,\ \text{значит, правильное неравенство:}\ 4x + 3y - 13 \leq 0. \]
\[ 0 - 5(0) - 9 = -9 < 0,\ \text{значит, правильное неравенство:}\ x - 5y - 9 \leq 0. \]
\[ \begin{cases} 5x - 2y + 1 \geq 0, \\ 4x + 3y - 13 \leq 0, \\ x - 5y - 9 \leq 0. \end{cases} \]
Система неравенств, определяющая треугольник \( \triangle ABC \):