Система линейных уравнений и многобразия решений

Данный вопрос относится к предмету "Линейная алгебра", а именно к разделу "Системы линейных уравнений и многобразия решений". Мы рассматриваем линейные подпространства и их свойства.

Задание 3.56 состоит из двух частей:

Условие:

а) Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве \( \mathbb{R}^5 \):

\[ x_1 + x_2 = 1 \]
\[ x_3 + 4x_4 + 3x_5 = 1 \]
\[ 3x_1 + 2x_2 - 9x_3 + 5x_4 = 0 \]

Решение:

1. Переходим к системе.

В системе три уравнения для пяти переменных \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\).

Первое уравнение:

\[ x_1 + x_2 = 1. \]
Отсюда можно выразить \(x_2\) через \(x_1\):
\[ x_2 = 1 - x_1. \]

Второе уравнение:

\[ x_3 + 4x_4 + 3x_5 = 1. \]
Из него выражаем \(x_3\):
\[ x_3 = 1 - 4x_4 - 3x_5. \]

Третье уравнение:

\[ 3x_1 + 2x_2 - 9x_3 + 5x_4 = 0. \]
Подставляем сюда выражения для \(x_2\) и \(x_3\):
\[ 3x_1 + 2(1 - x_1) - 9(1 - 4x_4 - 3x_5) + 5x_4 = 0, \]
раскроем скобки:
\[ 3x_1 + 2 - 2x_1 - 9 + 36x_4 + 27x_5 + 5x_4 = 0, \]
упростим выражение:
\[ (3x_1 - 2x_1) + (36x_4 + 5x_4) + 27x_5 + (2 - 9) = 0, \]
\[ x_1 + 41x_4 + 27x_5 - 7 = 0. \]
Отсюда выражаем \(x_1\):
\[ x_1 = 7 - 41x_4 - 27x_5. \]

2. Общий вид решения:

Теперь мы можем записать общее решение для всех переменных:
\[ x_1 = 7 - 41x_4 - 27x_5, \]
\[ x_2 = 1 - x_1 = 1 - (7 - 41x_4 - 27x_5) = -6 + 41x_4 + 27x_5, \]
\[ x_3 = 1 - 4x_4 - 3x_5, \]
\[ x_4 = x_4 \quad (\text{свободная переменная}), \]
\[ x_5 = x_5 \quad (\text{свободная переменная}). \]

3. Проверка на линейное многообразие:

Это множество решений записывается в виде:
\[ \mathbf{x} = \mathbf{x_0} + \alpha\mathbf{v_1} + \beta\mathbf{v_2}, \]
где \( \mathbf{x_0} \) — некоторое фиксированное частное решение, а \( \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \) — базисные векторы линейного пространства решений. То есть, множество решений действительно является афинным (линейным) подпространством.

Теперь выразим решение в виде вектора:
\[ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (7, -6, 1, 0, 0) + x_4(-41, 41, -4, 1, 0) + x_5(-27, 27, -3, 0, 1). \]
Значит, это множество решений формирует линейное многообразие в \( \mathbb{R}^5 \).

Ответ (а): Множество решений системы есть линейное многообразие в пространстве \( \mathbb{R}^5 \).