Система линейных уравнений и многобразия решений

Данный вопрос относится к предмету "Линейная алгебра", а именно к разделу "Системы линейных уравнений и многобразия решений". Мы рассматриваем линейные подпространства и их свойства.

Задание 3.56 состоит из двух частей:

Условие:

а) Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве $\text{(}{\mathbb{R}}^5\text{)}$:

$\text{[}{x}_1+x_2=1\text{]}$
$\text{[}{x}_3+4x_4+3x_5=1\text{]}$
$\text{[}3x_1+2x_2-9x_3+5x_4=0\text{]}$

Решение:

1. Переходим к системе.

В системе три уравнения для пяти переменных $\text{(}{x}_1,x_2,x_3,x_4,x_5\text{)}$.

Первое уравнение:

$\text{[}{x}_1+x_2=1.\text{]}$
Отсюда можно выразить $\text{(}{x}_2\text{)}$ через $\text{(}{x}_1\text{)}$:
$\text{[}{x}_2=1-x_1.\text{]}$

Второе уравнение:

$\text{[}{x}_3+4x_4+3x_5=1.\text{]}$
Из него выражаем $\text{(}{x}_3\text{)}$:
$\text{[}{x}_3=1-4x_4-3x_5.\text{]}$

Третье уравнение:

$\text{[}3x_1+2x_2-9x_3+5x_4=0.\text{]}$
Подставляем сюда выражения для $\text{(}{x}_2\text{)}$ и $\text{(}{x}_3\text{)}$:
$\text{[}3x_1+2(1-x_1)-9(1-4x_4-3x_5)+5x_4=0,\text{]}$
раскроем скобки:
$\text{[}3x_1+2-2x_1-9+36x_4+27x_5+5x_4=0,\text{]}$
упростим выражение:
$\text{[}(3x_1-2x_1)+(36x_4+5x_4)+27x_5+(2-9)=0,\text{]}$
$\text{[}{x}_1+41x_4+27x_5-7=0.\text{]}$
Отсюда выражаем $\text{(}{x}_1\text{)}$:
$\text{[}{x}_1=7-41x_4-27x_5.\text{]}$

2. Общий вид решения:

Теперь мы можем записать общее решение для всех переменных:
$\text{[}{x}_1=7-41x_4-27x_5,\text{]}$
$\text{[}{x}_2=1-x_1=1-(7-41x_4-27x_5)=-6+41x_4+27x_5,\text{]}$
$\text{[}{x}_3=1-4x_4-3x_5,\text{]}$
$\text{[}{x}_4=x_4(\text{свободная переменная}),\text{]}$
$\text{[}{x}_5=x_5(\text{свободная переменная}).\text{]}$

3. Проверка на линейное многообразие:

Это множество решений записывается в виде:
$\text{[}\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}+\alpha {\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}+\beta {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}},\text{]}$
где $\text{(}{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}\text{)}$ — некоторое фиксированное частное решение, а $\text{(}{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\text{)}$ — базисные векторы линейного пространства решений. То есть, множество решений действительно является афинным (линейным) подпространством.

Теперь выразим решение в виде вектора:
$\text{[}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(7,-6,1,0,0)+x_4(-41,41,-4,1,0)+x_5(-27,27,-3,0,1).\text{]}$
Значит, это множество решений формирует линейное многообразие в $\text{(}{\mathbb{R}}^5\text{)}$.

Ответ (а): Множество решений системы есть линейное многообразие в пространстве $\text{(}{\mathbb{R}}^5\text{)}$.