Система дифференциальных уравнений первого порядка. Векторно – матричная запись. Подробно про Векторно – матричная запись

Предмет и раздел:

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Системы дифференциальных уравнений первого порядка с использованием векторно-матричной записи.

Векторно-матричная запись системы дифференциальных уравнений:

Допустим, у нас есть система \( n \) дифференциальных уравнений первого порядка. В общем виде она выглядит так:

\[ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = f_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \frac{dx_2}{dt} = f_2(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \vdots \\ \frac{dx_n}{dt} = f_n(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \end{cases} \]

Векторно-матричная запись:

Вместо записи системы в виде множества уравнений, мы можем записать её в более компактной форме, используя вектора и матрицы. Пусть

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \quad \mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = \begin{bmatrix} f_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ f_2(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \vdots \\ f_n(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{bmatrix} \]

Тогда система дифференциальных уравнений может быть записана в векторно-матричной форме как:

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(t, \mathbf{x}) \]

Пример и решение:

Рассмотрим конкретную систему, например, двух дифференциальных уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + b_1(t) \\ \frac{dx_2}{dt} = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + b_2(t) \\ \end{cases} \]

где \( a_{ij} \) – постоянные коэффициенты, \( b_1(t) \) и \( b_2(t) \) – функции от \( t \).

Векторно-матричная запись этой системы будет:

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}(t) = \begin{bmatrix} b_1(t) \\ b_2(t) \end{bmatrix} \]

Тогда система принимает вид:

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin(t) \\ e^t \end{bmatrix} \]

Общий метод решения:

1. Нахождение общего решения однородной системы:

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A} \mathbf{x} \]

Это можно решить методом собственных значений и собственных векторов матрицы \( \mathbf{A} \).

2. Нахождение частного решения неоднородной системы:

С использованием метода вариации параметров или метода неопределённых коэффициентов. В данном примере решение может быть более сложным и потребует детального анализа собственных значений и соответствующих вычислений для нахождения частного решения.

Заключение:

Векторно-матричная запись облегчает работу с системами дифференциальных уравнений и позволяет применять методы линейной алгебры для их решения, что упрощает решение сложных задач.