Система дифференциальных уравнений первого порядка. Векторно – матричная запись. Подробно про Векторно – матричная запись

Предмет и раздел:

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Системы дифференциальных уравнений первого порядка с использованием векторно-матричной записи.

Векторно-матричная запись системы дифференциальных уравнений:

Допустим, у нас есть система $\text{(}n\text{)}$ дифференциальных уравнений первого порядка. В общем виде она выглядит так:

$\text{[}\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=f_1(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ \frac{d{x}_2}{dt}=f_2(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ \frac{d{x}_n}{dt}=f_n(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\end{array}\text{]}$

Векторно-матричная запись:

Вместо записи системы в виде множества уравнений, мы можем записать её в более компактной форме, используя вектора и матрицы. Пусть

$\text{[}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\mathbf{F}(t,\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{f}_1(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ f_2(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_n(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\end{array}\right]\text{]}$

Тогда система дифференциальных уравнений может быть записана в векторно-матричной форме как:

$\text{[}\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{F}(t,\mathbf{x})\text{]}$

Пример и решение:

Рассмотрим конкретную систему, например, двух дифференциальных уравнений:

$\text{[}\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+b_1(t)\\ \frac{d{x}_2}{dt}=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+b_2(t)\end{array}\text{]}$

где $\text{(}{a}_{ij}\text{)}$ – постоянные коэффициенты, $\text{(}{b}_1(t)\text{)}$ и $\text{(}{b}_2(t)\text{)}$ – функции от $\text{(}t\text{)}$.

Векторно-матричная запись этой системы будет:

$\text{[}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],\mathbf{b}(t)=\left[\begin{array}{c}{b}_1(t)\\ b_2(t)\end{array}\right]\text{]}$

Тогда система принимает вид:

$\text{[}\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\sin (t)\\ e^t\end{array}\right]\text{]}$

Общий метод решения:

1. Нахождение общего решения однородной системы:

$\text{[}\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{A}\mathbf{x}\text{]}$

Это можно решить методом собственных значений и собственных векторов матрицы $\text{(}\mathbf{A}\text{)}$.

2. Нахождение частного решения неоднородной системы:

С использованием метода вариации параметров или метода неопределённых коэффициентов. В данном примере решение может быть более сложным и потребует детального анализа собственных значений и соответствующих вычислений для нахождения частного решения.

Заключение:

Векторно-матричная запись облегчает работу с системами дифференциальных уравнений и позволяет применять методы линейной алгебры для их решения, что упрощает решение сложных задач.