Систем векторов линейно независима, и разложить по ней вектор.

Пример 1:

Выяснить, какая из систем векторов линейно независима, и разложить по ней вектор р= (10,6; 6; 1):

а) а₁ = (5; 5; 0); а₂ = (1; -1; 2); а₃ = (2,5; 3; -0,5);

б) b₁ = (2; 1; 0); b₂ = (3; 0; -1); b₃ = (0; 5; 6) .

Решение от преподавателя:

Сначала необходимо проверить образуют ли векторы a₁(5;5;0), a₂(1;-1;2), a₃(2.5;3;-0.5) базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор p нельзя разложить по данному базису. 
Вычислим определитель матрицы: 

∆ = 5*((-1)*(-0.5) - 3*2) - 1*(5*(-0.5) - 3*0) + 2.5*(5*2 - (-1)*0) = 0 
Определитель матрицы равен ∆ =0 
Так как E вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно нельзя выразить вектор p в новом базисе. 

Даны векторы b₁(2;1;0), b₂(3;0;-1), b₃(0;5;6), p(10,6;6;1).

Проверим  образуют ли векторы b₁(2;1;0), b₂(3;0;-1), b₃(0;5;6), базис.. 
Вычислим определитель матрицы: 

∆ = 2*(0*6 - 5*(-1)) - 3*(1*6 - 5*0) + 0*(1*(-1) - 0*0) = -8 
Определитель матрицы равен ∆ =-8 
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор p можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа x₁, x₂, x₃, что имеет место равенство: 
p = x₁b₁ + x₂b₂ + x₃b₃ 
Запишем данное равенство в координатной форме: 
(10,6;6;1) = x₁(2;1;0) + x₂(3;0;-1) + x₃(0;5;6) 

2x₁ + 3x₂ + 0x₃ = 10.6 
1x₁ + 0x₂ + 5x₃ = 6 
0x₁ -1x₂ + 6xα₃ = 1 

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера. 

Запишем систему в виде: 

B^T = (10.6,6,1) 
Система совместна тогда и только тогда, когда главный определитель не равен нулю. 
Определитель: 
∆ = 2*(0*6-(-1)*5)-1*(3*6-(-1)*0)+0*(3*5-0*0) = -8 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 10.6*(0*6-(-1)*5)-6*(3*6-(-1)*0)+1*(3*5-0*0) = -40 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2*(6*6-1*5)-1*(10.6*6-1*0)+0*(10.6*5-6*0) = -1.6 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2*(0*1-(-1)*6)-1*(3*1-(-1)*10.6)+0*(3*6-0*10.6) = -1.6 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 

Ответ:

p = 5b₁ + 0.2b₂ + 0.2b₃