Сформулируйте постановку задачи о нахождении решентя СЛАУ с использованием критерия по невязке

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), численные методы

Постановка задачи о нахождении решения СЛАУ с использованием критерия по невязке

Шаг 1: Описание СЛАУ

Рассмотрим систему из \( n \) линейных алгебраических уравнений с \( n \)-ю неизвестными. СЛАУ можно записать в матричной форме:

\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]

где:

• \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) — квадратная матрица коэффициентов системы;
• \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \) — вектор-столбец неизвестных;
• \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \) — вектор-столбец правых частей системы.

Шаг 2: Основная цель — нахождение решения

Задача заключается в том, чтобы найти приближённое решение вектора \( \mathbf{x}^{(k)} \), где \( k \) — шаг итерационного метода, используя критерий по невязке.

Шаг 3: Определение невязки

Невязка \( \mathbf{r}^{(k)} \) на \( k \)-м шаге — это разность между вектором \( A \mathbf{x}^{(k)} \) (приближённым значением) и вектором \( \mathbf{b} \) (точным значением):

\[ \mathbf{r}^{(k)} = \mathbf{b} - A \mathbf{x}^{(k)} \]

Шаг 4: Критерий остановки по невязке

Для того чтобы определить, насколько близко мы подошли к точному решению системы, используется норма невязки. В численных методах часто ставят условие, что процесс решения можно остановить, когда величина нормы невязки станет малой:

\[ \|\mathbf{r}^{(k)}\| < \epsilon \]

где:

• \( \epsilon \) — заранее заданная максимально допустимая ошибка (точность);
• \( \|\cdot\| \) — выбранная норма (например, евклидова норма, \( \|\mathbf{r}\|_2 = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 + \dots + r_n^2} \)).

Другими словами, процесс вычисления приближённого решения продолжается до тех пор, пока невязка \( \mathbf{r}^{(k)} \) по норме не станет меньше заданного порога \( \epsilon \).

Шаг 5: Итерационные методы нахождения решения

Для вычисления приближённого решения \( \mathbf{x}^{(k)} \), которое удовлетворяет критерию по невязке, чаще всего используются итерационные методы:

1. Метод Якоби
2. Метод Гаусса-Зейделя
3. Метод релаксации (SOR - метод)

Итерационные методы начинают с некоторого начального приближения \( \mathbf{x}^{(0)} \) и далее итеративно уточняют это значение.

Шаг 6: Математическая постановка

Цель задачи: Найти решение \( \mathbf{x}^{(k)} \), удовлетворяющее критерию:

\[ \|\mathbf{r}^{(k)}\| = \|\mathbf{b} - A \mathbf{x}^{(k)}\| < \epsilon \]

Пример:

• Пусть матрица \( A \), векторы \( \mathbf{b} \) и начальное приближение \( \mathbf{x}^{(0)} \) известны.
• Используем, например, метод Якоби для нахождения итераций, начиная с \( \mathbf{x}^{(0)} \).
• На каждом шаге вычисляем \( \mathbf{r}^{(k)} = \mathbf{b} - A \mathbf{x}^{(k)} \).
• Проверяем, выполняется ли \( \|\mathbf{r}^{(k)}\| < \epsilon \).

Постановка задачи сводится к применению итерационного метода для последовательного пересчета приближений \( \mathbf{x}^{(k)} \), пока норма невязки не станет меньше определённого значения \( \epsilon \).