Решите матричные уравнения и проверьте подустановкой

Предмет: Линейная алгебра (математика)

Раздел: Матричные уравнения

У нас есть два уравнения с матрицами. Решим каждое по отдельности:

Первое уравнение: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} \]

1. Решение первого уравнения

Обозначим \( X \) как вектор-столбец: \( X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \). Тогда наше уравнение будет выглядеть так: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} \] Это означает систему линейных уравнений:

1. \( 1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 = 7 \)
2. \( 5 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 = 8 \)

Решим эту систему линейных уравнений.

Решим первое уравнение:

\[ x_1 + 2x_2 = 7 \quad \text{(1)} \]

Второе уравнение:

\[ 5x_1 + x_2 = 8 \quad \text{(2)} \]

Из уравнения (1) выразим \( x_1 \):

\[ x_1 = 7 - 2x_2 \]

Подставим это выражение в уравнение (2):

\[ 5(7 - 2x_2) + x_2 = 8 \]

Раскроем скобки:

\[ 35 - 10x_2 + x_2 = 8 \]

Упрощаем:

\[ 35 - 9x_2 = 8 \]

Отсюда получаем:

\[ -9x_2 = 8 - 35 \]

\[ -9x_2 = -27 \]

\[ x_2 = 3 \]

Теперь подставим \( x_2 = 3 \) в выражение для \( x_1 \):

\[ x_1 = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1 \]

Итак, решение первого уравнения: \[ X = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \]

2. Проверка подстановкой

Проверим, подставив значения \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \) в исходное уравнение:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \\ 5 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} \] Подстановка верна.

Второе уравнение:

\[ X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \]

1. Решение второго уравнения

Обозначим матрицу \( X \) как: \[ X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \] Тогда уравнение принимает вид: \[ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] Произведём умножение матриц:

\[ X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

Запишем произведение первой строки матрицы \( X \) на первую колонку второй матрицы:

\[ a \cdot 3 + b \cdot 1 + c \cdot 3 = 4 \]

Произведение первой строки на вторую колонку:

\[ a \cdot (-1) + b \cdot 2 + c \cdot 2 = 3 \]

Третья колонка:

\[ a \cdot 5 + b \cdot 4 + c \cdot (-1) = 1 \]

Для второй строки \( X \): Первая колонка:

\[ d \cdot 3 + e \cdot 1 + f \cdot 3 = 3 \]

Вторая колонка:

\[ d \cdot (-1) + e \cdot 2 + f \cdot 2 = 1 \]

Третья колонка:

\[ d \cdot 5 + e \cdot 4 + f \cdot (-1) = 2 \]

Выполняя подобные действия для третьей строки \( X \), решим систему.