Решить задачу Коши. В ответ ввести значение в точке х1.

Условие:

Решить задачу Коши. В ответ ввести значение в точке х1.

Решение:

Это задача по математике, раздел обыкновенные дифференциальные уравнения, конкретно - задача Коши. Для решения данной задачи Коши, начнем с основного уравнения: \[ xdy = (y + 1)dx \] Приведем это уравнение к виду, удобному для разделения переменных: \[ x \frac{dy}{dx} = y + 1 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y + 1}{x} \] Разделим переменные y и x: \[ \frac{dy}{y + 1} = \frac{dx}{x} \] Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y + 1} = \int \frac{dx}{x} \] Левая часть такого интеграла даст: \[ \ln|y + 1| \] Правая часть даст: \[ \ln|x| \] Таким образом: \[ \ln|y + 1| = \ln|x| + C \] Теперь избавимся от логарифмов, возведя обе стороны в экспоненту: \[ |y + 1| = e^{\ln|x| + C} \] \[ |y + 1| = |x| e^C \] Обозначим \( e^C \) за новую константу \( k \): \[ |y + 1| = k |x| \] Так как \( k \) — произвольная постоянная, мы можем избавиться от модуля: \[ y + 1 = kx \] Выразим y: \[ y = kx - 1 \] Теперь используем начальное условие \( y(1) = 2 \) для нахождения константы \( k \): \[ 2 = k \cdot 1 - 1 \] \[ k = 3 \] Таким образом, решение уравнения - это: \[ y = 3x - 1 \] Теперь нам нужно найти значение в точке \( x_1 = 3 \): \[ y(3) = 3 \cdot 3 - 1 \] \[ y(3) = 9 - 1 = 8 \] Ответ: значение функции в точке \( x_1 = 3 \) равно 8.