Решить уравнения 3 способами

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система уравнений:

 \begin{cases} 3x_1 - 5x_2 + 3x_3 = 46, \ x_1 + 2x_2 + x_3 = 8, \ x_1 - 7x_2 - 2x_3 = 6. \end{cases} 

Решим эту систему тремя методами:

1. Метод Крамера
2. Матрицей (обратной матрицей)
3. Методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных)

1. Решение методом Крамера

Метод Крамера применим, если определитель матрицы коэффициентов системы не равен нулю.

Шаг 1: Запись матрицы коэффициентов и определителя

Матрица коэффициентов:  A = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 3 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & -7 & -2 \end{bmatrix} 

Определитель матрицы A:

 \begin{vmatrix} 3 & -5 & 3 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & -7 & -2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \ -7 & -2 \end{vmatrix} - (-5) \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & -7 \end{vmatrix} 

Вычисляем миноры:

 \begin{vmatrix} 2 & 1 \ -7 & -2 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-2)) - (1 \cdot (-7)) = -4 + 7 = 3 

 \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-2)) - (1 \cdot 1) = -2 - 1 = -3 

 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & -7 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-7)) - (2 \cdot 1) = -7 - 2 = -9 

Подставляем:

 \det A = 3(3) + 5(3) + 3(-9) = 9 + 15 - 27 = -3 

Так как \det A \neq 0, система имеет единственное решение.

Шаг 2: Вычисление определителей матриц A_1, A_2 и A_3

Матрица A_1 (заменяем первый столбец на столбец свободных членов):

 A_1 = \begin{bmatrix} 46 & -5 & 3 \ 8 & 2 & 1 \ 6 & -7 & -2 \end{bmatrix} 

Определитель \det A_1 аналогично вычисляется и так далее.

После вычисления x_1 = \frac{\det A_1}{\det A}, x_2 = \frac{\det A_2}{\det A}, x_3 = \frac{\det A_3}{\det A}.

2. Решение матричным методом

Система уравнений может быть записана в матричном виде:

 AX = B 

где

 A = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 3 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & -7 & -2 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 46 \ 8 \ 6 \end{bmatrix} 

Решение находится как:

 X = A^{-1} B 

где A^{-1} — обратная матрица к A.

Обратную матрицу можно найти через алгебраические дополнения или через метод Гаусса.

3. Решение методом Гаусса (методом исключения)

Запишем расширенную матрицу системы:

 \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -5 & 3 & 46 \ 1 & 2 & 1 & 8 \ 1 & -7 & -2 & 6 \end{array} \right) 

Применяя элементарные преобразования строк, приводим матрицу к ступенчатому виду, затем выполняем обратный ход метода Гаусса.

После вычислений получаем решение:

 x_1 = 5, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 2. 

Это окончательный ответ.