Решить уравнение с помощью дискриминанта

Мы имеем задание: \( 4x^2 - 20x + 26 = 0 \). Это уравнение из предмета математика, раздел алгебра. Конкретнее, это квадратное уравнение.

Решим уравнение с помощью дискриминанта.

Формула квадратного уравнения имеет вид: \[ ax^2 + bx + c = 0, \] где \( a = 4 \), \( b = -20 \), и \( c = 26 \).

Шаг 1: Найдем дискриминант.

Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac. \]

Подставляем наши значения: \[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 26 = 400 - 416 = -16. \]

Дискриминант равен \(-16\).

Шаг 2: Интерпретация дискриминанта.

Поскольку дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что корни будут комплексными числами.

Шаг 3: Найдем комплексные корни.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Наша задача теперь — учесть, что дискриминант отрицательный, и выразить корни через комплексные числа. Используем формулу с учетом \( D = -16 \):

\[ x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 4} = \frac{20 \pm \sqrt{-16}}{8}. \]

Корень из \( -16 \) можно выразить как: \[ \sqrt{-16} = 4i, \] где \( i \) — это мнимая единица (\( i^2 = -1 \)).

Подставляем это значение в формулу для корней: \[ x = \frac{20 \pm 4i}{8}. \]

Разделим числитель и знаменатель на 8: \[ x = \frac{20}{8} \pm \frac{4i}{8} = \frac{5}{2} \pm \frac{i}{2}. \]

Ответ: Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{5}{2} + \frac{i}{2}, \quad x_2 = \frac{5}{2} - \frac{i}{2}. \]

Это комплексные корни \( x_1 \) и \( x_2 \).