Решить уравнение с помощью дискриминанта

Мы имеем задание: $\text{(}4x^2-20x+26=0\text{)}$. Это уравнение из предмета математика, раздел алгебра. Конкретнее, это квадратное уравнение.

Решим уравнение с помощью дискриминанта.

Формула квадратного уравнения имеет вид: $\text{[}a{x}^2+bx+c=0,\text{]}$ где $\text{(}a=4\text{)}$, $\text{(}b=-20\text{)}$, и $\text{(}c=26\text{)}$.

Шаг 1: Найдем дискриминант.

Формула дискриминанта: $\text{[}D=b^2-4ac.\text{]}$

Подставляем наши значения: $\text{[}D=(-20{)}^2-4\cdot 4\cdot 26=400-416=-16.\text{]}$

Дискриминант равен $\text{(}-16\text{)}$.

Шаг 2: Интерпретация дискриминанта.

Поскольку дискриминант меньше нуля ($\text{(}D<0\text{)}$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что корни будут комплексными числами.

Шаг 3: Найдем комплексные корни.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения: $\text{[}x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\text{]}$

Наша задача теперь — учесть, что дискриминант отрицательный, и выразить корни через комплексные числа. Используем формулу с учетом $\text{(}D=-16\text{)}$:

$\text{[}x=\frac{-(-20)\pm \sqrt{-16}}{2\cdot 4}=\frac{20\pm \sqrt{-16}}{8}.\text{]}$

Корень из $\text{(}-16\text{)}$ можно выразить как: $\text{[}\sqrt{-16}=4i,\text{]}$ где $\text{(}i\text{)}$ — это мнимая единица ($\text{(}{i}^2=-1\text{)}$).

Подставляем это значение в формулу для корней: $\text{[}x=\frac{20\pm 4i}{8}.\text{]}$

Разделим числитель и знаменатель на 8: $\text{[}x=\frac{20}{8}\pm \frac{4i}{8}=\frac{5}{2}\pm \frac{i}{2}.\text{]}$

Ответ: Корни уравнения:

$\text{[}{x}_1=\frac{5}{2}+\frac{i}{2},x_2=\frac{5}{2}-\frac{i}{2}.\text{]}$

Это комплексные корни $\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\text{)}$.