Решить СЛАУ по формулам Крамера

Определение предмета и раздела:

Предмет: Линейная алгебра (входит в курс "Математика").

Раздел: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Подраздел: Метод Крамера.

Шаг 1: Запишем СЛАУ в стандартной форме

Мы имеем следующую систему уравнений:

1. \( 3y - z = -2 \)
2. \( x - y + z = 5 \)
3. \( 4x + 3y - 5z = -11 \)

Эта система выглядит следующим образом в стандартной форме:

\[ \begin{cases} 0x + 3y - z = -2 \\ x - y + z = 5 \\ 4x + 3y - 5z = -11 \end{cases} \]

Шаг 2: Матрица коэффициентов и векторы правых частей

Построим матрицу коэффициентов системы \( A \), вектор переменных \( \mathbf{x} \) и вектор правых частей \( \mathbf{b} \).

Матрица коэффициентов \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & -5 \end{pmatrix} \]

Вектор переменных \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \).

Вектор правых частей:

\[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -11 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Определим основной определитель (детерминант матрицы A)

Для применения формул Крамера сначала рассчитуем определитель матрицы \( A \), назовем его \( \Delta \).

\[ \Delta = \det(A) = \begin{vmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & -5 \end{vmatrix} \]

Вычислим по первой строке:

\[ \Delta = 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \]

Раскроем подматрицы:

\[ \Delta = 0 \cdot (\dots) - 3 \cdot (1 \cdot -5 - 4 \cdot 1) + (-1) \cdot (1 \cdot 3 - 4 \cdot -1) \]

\[ \Delta = -3 \cdot (-5 - 4) + (-1) \cdot (3 + 4) \]

\[ \Delta = -3 \cdot (-9) + (-1) \cdot 7 = 27 - 7 = 20 \]

Шаг 4: Найдем вспомогательные определители

Определитель \( \Delta_x \)

Заменим первый столбец матрицы \( A \) на вектор правых частей \( \mathbf{b} \):

\[ A_x = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \\ -11 & 3 & -5 \end{pmatrix} \]

Вычислим \( \Delta_x \):

\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \\ -11 & 3 & -5 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем по первой строке:

\[ \Delta_x = -2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -11 & -5 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -11 & 3 \end{vmatrix} \]

Раскроем подматрицы:

\[ \Delta_x = -2 \cdot (-1 \cdot -5 - 3 \cdot 1) - 3 \cdot (5 \cdot -5 - 1 \cdot -11) + (-1) \cdot (5 \cdot 3 - (-11) \cdot -1) \]

\[ \Delta_x = -2 \cdot (5 - 3) - 3 \cdot (-25 + 11) + (-1) \cdot (15 - 11) \]

\[ \Delta_x = -2 \cdot 2 - 3 \cdot (-14) + (-1) \cdot 4 \]

\[ \Delta_x = -4 + 42 - 4 = 34 \]

Определитель \( \Delta_y \)

Заменим второй столбец матрицы \( A \) на вектор \( \mathbf{b} \):

\[ A_y = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 4 & -11 & -5 \end{pmatrix} \]

Вычислим \( \Delta_y \):

\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 4 & -11 & -5 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем по первой строке:

\[ \Delta_y = 0 \cdot (\dots) - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -11 \end{vmatrix} \]

Раскроем подматрицы:

\[ \Delta_y = -(-2) \cdot (1 \cdot -5 - 4 \cdot 1) + (-1) \cdot (1 \cdot -11 - 4 \cdot 5) \]

\[ \Delta_y = 2 \cdot (-5 - 4) + (-1) \cdot (-11 - 20) \]

\[ \Delta_y = 2 \cdot (-9) + (-1) \cdot (-31) \]

\[ \Delta_y = -18 + 31 = 13 \]

Определитель \( \Delta_z \)

Заменим третий столбец на вектор \( \mathbf{b} \):

\[ A_z = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 5 \\ 4 & 3 & -11 \end{pmatrix} \]

Вычислим \( \Delta_z \):

\[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 5 \\ 4 & 3 & -11 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем по первой строке:

\[ \Delta_z = 0 \cdot (\dots) - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -11 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \]

Раскроем подматрицы:

\[ \Delta_z = -3 \cdot (1 \cdot -11 - 4 \cdot 5) + (-2) \cdot (1 \cdot 3 - 4 \cdot -1) \]

\[ \Delta_z = -3 \cdot (-11 - 20) + (-2) \cdot (3 + 4) \]

\[ \Delta_z = -3 \cdot (-31) + (-2) \cdot 7 \]

\[ \Delta_z = 93 - 14 = 79 \]

Шаг 5: Найдем решения по формуле Крамера

Теперь можем найти решения для \( x \), \( y \), \( z \) по формулам Крамера:

\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{34}{20} = 1.7 \]

\[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{13}{20} = 0.65 \]

\[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{79}{20} = 3.95 \]

Ответ:

Решение системы уравнений:

\[ x = 1.7,\quad y = 0.65,\quad z = 3.95 \]