Решить системы линейных уравнений методом Гаусса или установить их несовместность

Это задание относится к предмету линейная алгебра, а точнее к разделу, связанному с решением систем линейных уравнений (СЛУ). В данном случае предлагается решить системы линейных уравнений методом Гаусса или установить их несовместность. Метод Гаусса заключается в приведении системы уравнений к треугольному виду с использованием элементарных преобразований строк. Затем решение системы находится обратным ходом.

Часть а) Решение СЛУ:

Имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} x_1 - 4x_2 + 3x_3 = -22 \\ 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 12 \\ 3x_1 - x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases} \]

Шаг 1: Составим расширенную матрицу системы.

Расширенная матрица записывается так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -22 \\ 2 & 3 & 5 & 12 \\ 3 & -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Применим прямой ход метода Гаусса для приведения к треугольному виду.

1. Во втором уравнении обнулим элемент под первым ведущим элементом (элемент 2 из второй строки). Для этого из второй строки вычтем первую строку, умноженную на 2:

   \[ \text{Вторая строка:} (2R_1) - R_2 = \left( 2(1, -4, 3, -22) \right) - (2, 3, 5, 12) = (0, -11, 1, -56) \]

   Модифицируем матрицу:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -22 \\ 0 & -11 & 1 & -56 \\ 3 & -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

2. Теперь обнулим элемент под первым ведущим элементом (элемент 3 из третьей строки). Для этого из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 3:

   \[ \text{Третья строка:} (3R_1) - R_3 = \left( 3(1, -4, 3, -22) \right) - (3, -1, -2, 0) = (0, 11, 7, -66) \]

   Модифицируем матрицу:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -22 \\ 0 & -11 & 1 & -56 \\ 0 & 11 & 7 & -66 \end{pmatrix} \]

3. Применим замену для третьей строки, чтобы обнулить её подвижные элементы. Например, вычтем вторую строку, умноженную на -1:

4.