Решить систему уравнений. В ответе указать значение y.

Это задание относится к предмету алгебра, раздел системы линейных уравнений. Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными \( x \), \( y \) и \( z \). Нам нужно решить систему и найти значение переменной \( y \). Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y + 5z = 0 \\ 3x + 2y + 4z = 8 \\ 2x - 3y - 4z = -1 \end{cases} \]

Шаг 1: Выражаем \( x \) из первого уравнения

Из первого уравнения: \[ x + y + 5z = 0 \] выразим \( x \):

\[ x = -y - 5z \]

Шаг 2: Подставляем выражение для \( x \) во второе и третье уравнения

Теперь подставим \( x = -y - 5z \) во второе и третье уравнения. Во второе уравнение:

\[ 3x + 2y + 4z = 8 \]

Подставим \( x \):

\[ 3(-y - 5z) + 2y + 4z = 8 \]

Раскроем скобки:

\[ -3y - 15z + 2y + 4z = 8 \]

Упрощаем:

\[ -y - 11z = 8 \] или:

\[ y = -11z - 8 \]

Теперь подставим \( x = -y - 5z \) в третье уравнение:

\[ 2x - 3y - 4z = -1 \]

Подставляем \( x \):

\[ 2(-y - 5z) - 3y - 4z = -1 \]

Раскроем скобки:

\[ -5y - 14z = -1 \]

или:

\[ y = \frac{-14z + 1}{5} \]

Шаг 3: Решение системы

Теперь у нас есть два выражения для \( y \):

1. \( y = -11z - 8 \)
2. \( y = \frac{-14z + 1}{5} \)

Приравниваем эти два выражения:

\[ -11z - 8 = \frac{-14z + 1}{5} \]

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ -55z - 40 = -14z + 1 \]

Переносим все слагаемые с \( z \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ -41z = 41 \]

\[ z = -1 \]

Шаг 4: Найдём \( y \)

\[ y = -11z - 8 \]

\[ y = 11 - 8 \]

\[ y = 3 \]

Ответ: Значение \( y = 3 \).

Теперь подставим \( z = -1 \) в выражение для \( y \):