Решить систему уравнений тремя методами с помощью обратной матрицы методом Крамера и методом гаусса 2х-y+z=23x+2y+2z=-2x-2y+z=1

Условие:

Решить систему уравнений тремя методами с помощью обратной матрицы методом Крамера и методом гаусса 2х-y+z=2 3x+2y+2z=-2 x-2y+z=1

Решение:

Это задание относится к **линейной алгебре**, которая является частью курса **высшей математики**. Задача требует решения системы линейных уравнений с тремя переменными \(x\), \(y\) и \(z\) методами обратной матрицы, Крамера и методом Гаусса. Обозначим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x - y + z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = -2 \\ x - 2y + z = 1 \end{cases} \] ### 1. Метод обратной матрицы Для решения системы уравнений методом обратной матрицы её можно записать в виде матричного уравнения: \[ A\mathbf{x} = \mathbf{b} \] где \(A\) — это матрица коэффициентов перед \(x\), \(y\), \(z\), \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) — вектор неизвестных, и \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) — вектор правых частей уравнений. Матрица \(A\) будет равна: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] Итак, система будет выглядеть следующим образом: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \] Чтобы найти \(\mathbf{x}\), нужно найти обратную матрицу \(A^{-1}\) и перемножить её на \(\mathbf{b}\): \[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \] #### Найдём \(A^{-1}\): Для этого сначала вычислим определитель \(\det(A)\). Для квадратной матрицы 3x3 определитель считается так: \[ \det(A) = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \] Вычислим все 2x2 определители: \[ \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) = 2 + 4 = 6 \] \[ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1 \] \[ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 = -6 - 2 = -8 \] Теперь подставим их в основную формулу для определителя: \[ \det(A) = 2 \cdot 6 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-8) = 12 + 1 - 8 = 5 \] Определитель \(\det(A) = 5\), он не равен нулю, значит матрица обратима. Теперь найдём обратную матрицу \(A^{-1}\). Формула для обратной матрицы: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Матрица алгебраических дополнений матрицы } A^T \] Для этого нужно найти алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы \(A\) и составить из них матрицу, после чего транспонировать её. Первая строка и первый столбец: \[ A_{11} = \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 6, A_{12} = -\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -1, A_{13} = \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = -8 \] Вторая строка и второй столбец: \[ A_{21} = -\det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = -\det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 1, A_{22} = \det \begin{pmatrix system