Решить систему уравнений по правилу крамера

Предмет: Математика
Раздел предмета: Линейная алгебра (решение систем линейных уравнений методом Крамера)

Метод Крамера используется для решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов. Система имеет вид:

 \begin{cases} x + y + 2y = 6 \ 2x - y + 2z = 1 \ 4x + y + 4z = 11 \end{cases} 

Приведем систему к стандартному виду, чтобы коэффициенты были удобны для работы:

 \begin{cases} x + 3y = 6 \ 2x - y + 2z = 1 \ 4x + y + 4z = 11 \end{cases} 

Матрица коэффициентов и вектор правых частей:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \ 2 & -1 & 2 \ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 6 \ 1 \ 11 \end{pmatrix} \end{formula> --- ### Шаг 1. Вычисление определителя матрицы A

Определитель матрицы A (обозначим его \Delta) вычисляется по правилу Саррюса или разложением по строке/столбцу. Для удобства используем метод разложения по первой строке:

 \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \ 2 & -1 & 2 \ 4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 1 & 4 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \ 4 & 4 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 4 & 1 \end{vmatrix} 

Рассчитаем каждый из миноров:

1.  \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (2)(1) = -4 - 2 = -6 

2.  \begin{vmatrix} 2 & 2 \ 4 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (2)(4) = 8 - 8 = 0 

Теперь подставим значения в формулу для \Delta:

 \Delta = 1 \cdot (-6) - 3 \cdot 0 + 0 \cdot (\text{что угодно}) = -6 

Итак, \Delta = -6.

Шаг 2. Вычисление определителей для \Delta_x, \Delta_y, \Delta_z

2.1. Определитель \Delta_x

Для \Delta_x заменяем первый столбец матрицы A на столбец свободных членов B:

 \Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 3 & 0 \ 1 & -1 & 2 \ 11 & 1 & 4 \end{vmatrix} 

Разложим по первой строке:

 \Delta_x = 6 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 1 & 4 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 11 & 4 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 11 & 1 \end{vmatrix} 

Рассчитаем миноры:

1.  \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (2)(1) = -4 - 2 = -6 

2.  \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 11 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(11) = 4 - 22 = -18 

Подставим значения:

 \Delta_x = 6 \cdot (-6) - 3 \cdot (-18) + 0 \cdot (\text{что угодно}) = -36 + 54 = 18 

Итак, \Delta_x = 18.

2.2. Определитель \Delta_y

Для \Delta_y заменяем второй столбец матрицы A на столбец B:

 \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 0 \ 2 & 1 & 2 \ 4 & 11 & 4 \end{vmatrix} 

Разложим по первой строке:

 \Delta_y = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 11 & 4 \end{vmatrix} - 6 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \ 4 & 4 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 4 & 11 \end{vmatrix} 

Рассчитаем миноры:

1.  \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 11 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(11) = 4 - 22 = -18 

2.  \begin{vmatrix} 2 & 2 \ 4 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (2)(4) = 8 - 8 = 0 

Подставим значения:

 \Delta_y = 1 \cdot (-18) - 6 \cdot 0 + 0 \cdot (\text{что угодно}) = -18 

Итак, \Delta_y = -18.

2.3. Определитель \Delta_z

Для \Delta_z заменяем третий столбец матрицы A на столбец B:

 \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 6 \ 2 & -1 & 1 \ 4 & 1 & 11 \end{vmatrix} 

Разложим по первой строке:

 \Delta_z = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 1 & 11 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 4 & 11 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 4 & 1 \end{vmatrix} 

Рассчитаем миноры:

1.  \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 1 & 11 \end{vmatrix} = (-1)(11) - (1)(1) = -11 - 1 = -12 

2.  \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 4 & 11 \end{vmatrix} = (2)(11) - (1)(4) = 22 - 4 = 18 

3.  \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 4 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (-1)(4) = 2 + 4 = 6 

Подставим значения:

 \Delta_z = 1 \cdot (-12) - 3 \cdot (18) + 6 \cdot (6) = -12 - 54 + 36 = -30 

Итак, \Delta_z = -30.

Шаг 3. Вычисление значений x, y, z

Теперь, по формуле Крамера:

 x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} 

Подставим значения:

1.  x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{18}{-6} = -3 

2.  y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-18}{-6} = 3 

3.  z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-30}{-6} = 5 

Ответ:

 x = -3, \quad y = 3, \quad z = 5