Решить систему уравнений по формулам крамера

Данное задание относится к дисциплине "Алгебра", к разделу "Решение систем линейных уравнений" методом Крамера.

Система уравнений, которую нужно решить: \[ \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 15 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -9 \\ x_1 + 5x_2 + x_3 = 20 \end{cases} \]

Метод Крамера:

Метод Крамера применяется для решения систем линейных уравнений вида \(A \cdot X = B\), где \(A\) – это матрица коэффициентов при неизвестных, \(X\) – это вектор неизвестных, а \(B\) – столбец свободных членов.

1. Основная матрица системы:

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 5 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

2. Вычисление определителя основной матрицы (\(\Delta\)):

\[ \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 5 & 1 \\ \end{vmatrix} \]
Рассчитаем определитель методом разложения по первой строке: \[ \Delta = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \]
Теперь вычисляем каждый из миноров: \[ \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 1 - (-3) \cdot 5 = -1 + 15 = 14 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - (-3) \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 - (-1) \cdot 1 = 10 + 1 = 11 \]
Теперь подставим значения миноров: \[ \Delta = 3 \cdot 14 - 4 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 42 - 20 + 22 = 44 \]

3. Вычисление определителей \(\Delta_1\), \(\Delta_2\), \(\Delta_3\):

Теперь найдём миноры для определителей, заменяя каждый раз один из столбцов столбцом свободных членов \([15, -9, 20]\).

Определитель \(\Delta_1\) — заменяем первый столбец:

\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 15 & 4 & 2 \\ -9 & -1 & -3 \\ 20 & 5 & 1 \\ \end{vmatrix} \]
Разлагать будем по первой строке: \[ \Delta_1 = 15 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} -9 & -3 \\ 20 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -9 & -1 \\ 20 & 5 \end{vmatrix} \]
Сначала вычисляем миноры: \[ \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 1 - (-3) \cdot 5 = -1 + 15 = 14 \] \[ \begin{vmatrix} -9 & -3 \\ 20 & 1 \end{vmatrix} = (-9) \cdot 1 - (-3) \cdot 20 = -9 + 60 = 51 \] \[ \begin{vmatrix} -9 & -1 \\ 20 & 5 \end{vmatrix} = (-9) \cdot 5 - (-1) \cdot 20 = -45 + 20 = -25 \]
Подставляем значения: \[ \Delta_1 = 15 \cdot 14 - 4 \cdot 51 + 2 \cdot (-25) = 210 - 204 - 50 = -44 \]

Определитель \(\Delta_2\) — заменяем второй столбец:

\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & -9 & -3 \\ 1 & 20 & 1 \\ \end{vmatrix} \]
Разложим по первой строке: \[ \Delta_2 = 3 \cdot \begin{vmatrix} -9 & -3 \\ 20 & 1 \end{vmatrix} - 15 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ 1 & 20 \end{vmatrix} \]
Вычислим миноры: \[ \begin{vmatrix} -9 & -3 \\ 20 & 1 \end{vmatrix} = (-9) \cdot 1 - (-3) \cdot 20 = -9 + 60 = 51 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - (-3) \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ 1 & 20 \end{vmatrix} = 2 \cdot 20 - (-9) \cdot 1 = 40 + 9 = 49 \]
Подставляем значения: \[ \Delta_2 = 3 \cdot 51 - 15 \cdot 5 + 2 \cdot 49 = 153 - 75 + 98 = 176 \]

Определитель \(\Delta_3\) — заменяем третий столбец:

\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 15 \\ 2 & -1 & -9 \\ 1 & 5 & 20 \\ \end{vmatrix} \]
Разложим по первой строке: \[ \Delta_3 = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -9 \\ 5 & 20 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ 1 & 20 \end{vmatrix} + 15 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \]
Вычислим миноры: \[ \begin{vmatrix} -1 & -9 \\ 5 & 20 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 20 - (-9) \cdot 5 = -20 + 45 = 25 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ 1 & 20 \end{vmatrix} = 2 \cdot 20 - (-9) \cdot 1 = 40 + 9 = 49 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end\vmatrix} = 2 \cdot 5 - (-1) \cdot 1 = 10 + 1 = 11 \]
Подставляем значения: \[ \Delta_3 = 3 \cdot 25 - 4 \cdot 49 + 15 \cdot 11 = 75 - 196 + 165 = 44 \]

4. Нахождение решений:

По формулам Крамера: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-44}{44} = -1 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{176}{44} = 4 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{44}{44} = 1 \]

Ответ:

\[ x_1 = -1, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 1 \]