Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Задание 7

Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса:
 \begin{cases} x - 2y - 3z = 2, \ x + 2y + z = 2. \end{cases} 

Шаг 1. Записываем систему в виде расширенной матрицы

Коэффициенты при переменных и свободные члены записываем в матрицу:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & 2 \ 1 & 2 & 1 & 2 \ \end{array} \right] 

Шаг 2. Приведение матрицы к ступенчатому виду

1. Вычтем первую строку из второй:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & 2 \ 0 & 4 & 4 & 0 \ \end{array} \right] 

2. Разделим вторую строку на 4, чтобы получить единицу на месте ведущего элемента:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ \end{array} \right] 

3. Умножим вторую строку на 2 и добавим её к первой строке:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ \end{array} \right] 

Шаг 3. Приведение матрицы к каноническому виду

1. Умножим вторую строку на -1 и добавим её к первой строке:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ \end{array} \right] 

Шаг 4. Записываем решение системы

Из первой строки:
x = 2.

Из второй строки:
y + z = 0 \implies y = -z.

Общее решение:  x = 2, \, y = -z, \, z = z. 

Или в параметрическом виде:  \begin{cases} x = 2, \ y = -t, \ z = t, \end{cases} \end{formula} где t — произвольный параметр.

Ответ:

Общее решение системы:
\begin{cases} x = 2, \ y = -t, \ z = t. \end{cases}