Решить систему уравнений методом Гаусса

Определение предмета

Данный пример относится к линейной алгебре — разделу математики, в котором изучаются векторные пространства, матрицы и системы линейных уравнений. В этом конкретном случае, задание состоит в решении системы линейных уравнений, и метод, который нужно использовать, — это метод Гаусса.

Запишем систему уравнений:

\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 20 \\ 3x_1 - 2x_2 - 5x_3 = 6 \end{cases} \]

Шаг 1: Запишем систему в виде расширенной матрицы

Каждое уравнение записываем в строку, коэффициенты переменных превращаем в элементы матрицы, а результаты (правые стороны) — в столбец справа (расширенной матрицы):

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & -4 & 20 \\ 3 & -2 & -5 & 6 \\ \end{array} \right) \]

Шаг 2: Приведение к треугольному виду с помощью метода Гаусса

Цель метода Гаусса — преобразовать матрицу так, чтобы в левой части образовался треугольник с нулями ниже главной диагонали.

2.1. Элементарные преобразования строк (R2 = R2 - 2*R1 и R3 = R3 - 3*R1):
  • Для второй строки: (2, 3, -4, 20) - 2 \cdot (1, -2, 3, 6) \[ (2, 3, -4, 20) - (2, -4, 6, 12) = (0, 7, -10, 8) \]
  • Для третьей строки: (3, -2, -5, 6) - 3 \cdot (1, -2, 3, 6) \[ (3, -2, -5, 6) - (3, -6, 9, 18) = (0, 4, -14, -12) \]

Таким образом, новая матрица будет выглядеть так: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 0 & 7 & -10 & 8 \\ 0 & 4 & -14 & -12 \\ \end{array} \right) \]

2.2. Приводим матрицу далее: очистим второй столбец

Теперь необходимо удалить элемент под вторым ведущим элементом. Выполним \( R3 = R3 - \frac{4}{7} \cdot R2 \):

  • Для третьей строки: (0, 4, -14, -12) - \frac{4}{7} \cdot (0, 7, -10, 8) \[ (0, 4, -14, -12) - (0, 4, -\frac{40}{7}, \frac{32}{7}) = (0, 0, -\frac{58}{7}, -\frac{116}{7}) \]

Полученная матрица: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 0 & 7 & -10 & 8 \\ 0 & 0 & -\frac{58}{7} & -\frac{116}{7} \\ \end{array} \right) \]

2.3. Приведение третьей строки

Теперь мы можем упростить третью строку, домножив её на \( -\frac{7}{58} \), чтобы получить единицу в третьем ведущем элементе:

\[ (0, 0, -\frac{58}{7}, -\frac{116}{7}) \cdot \left( -\frac{7}{58} \right) = (0, 0, 1, 2) \]

Теперь матрица выглядит так: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 0 & 7 & -10 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \]

Шаг 3: Обратный ход Гаусса

Теперь начинаем с конца и поднимаемся вверх для нахождения значений переменных.

3.1. Третье уравнение:

\[ x_3 = 2 \]

3.2. Второе уравнение:

Из второго уравнения: \[ 7x_2 - 10x_3 = 8 \]

Подставляем \(x_3 = 2\):

\[ 7x_2 - 10 \cdot 2 = 8 \\ 7x_2 - 20 = 8 \\ 7x_2 = 28 \\ x_2 = 4 \]

3.3. Первое уравнение:

Из первого уравнения: \[ x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 6 \]

Подставляем \(x_2 = 4\) и \(x_3 = 2\):

\[ x_1 - 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 6 \\ x_1 - 8 + 6 = 6 \\ x_1 - 2 = 6 \\ x_1 = 8 \]

Шаг 4: Ответ

Решением системы уравнений является: \[ x_1 = 8, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 2 \]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн