Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Данный пример относится к линейной алгебре — разделу математики, в котором изучаются векторные пространства, матрицы и системы линейных уравнений. В этом конкретном случае, задание состоит в решении системы линейных уравнений, и метод, который нужно использовать, — это метод Гаусса.
\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 20 \\ 3x_1 - 2x_2 - 5x_3 = 6 \end{cases} \]
Каждое уравнение записываем в строку, коэффициенты переменных превращаем в элементы матрицы, а результаты (правые стороны) — в столбец справа (расширенной матрицы):
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & -4 & 20 \\ 3 & -2 & -5 & 6 \\ \end{array} \right) \]
Цель метода Гаусса — преобразовать матрицу так, чтобы в левой части образовался треугольник с нулями ниже главной диагонали.
Таким образом, новая матрица будет выглядеть так: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 0 & 7 & -10 & 8 \\ 0 & 4 & -14 & -12 \\ \end{array} \right) \]
Теперь необходимо удалить элемент под вторым ведущим элементом. Выполним \( R3 = R3 - \frac{4}{7} \cdot R2 \):
Полученная матрица: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 0 & 7 & -10 & 8 \\ 0 & 0 & -\frac{58}{7} & -\frac{116}{7} \\ \end{array} \right) \]
Теперь мы можем упростить третью строку, домножив её на \( -\frac{7}{58} \), чтобы получить единицу в третьем ведущем элементе:
\[ (0, 0, -\frac{58}{7}, -\frac{116}{7}) \cdot \left( -\frac{7}{58} \right) = (0, 0, 1, 2) \]
Теперь матрица выглядит так: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 6 \\ 0 & 7 & -10 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \]
Теперь начинаем с конца и поднимаемся вверх для нахождения значений переменных.
\[ x_3 = 2 \]
Из второго уравнения: \[ 7x_2 - 10x_3 = 8 \]
Подставляем \(x_3 = 2\):
\[ 7x_2 - 10 \cdot 2 = 8 \\ 7x_2 - 20 = 8 \\ 7x_2 = 28 \\ x_2 = 4 \]
Из первого уравнения: \[ x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 6 \]
Подставляем \(x_2 = 4\) и \(x_3 = 2\):
\[ x_1 - 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 6 \\ x_1 - 8 + 6 = 6 \\ x_1 - 2 = 6 \\ x_1 = 8 \]
Решением системы уравнений является: \[ x_1 = 8, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 2 \]