Решить систему уравнений методом Гаусса

Определение предмета

Данный пример относится к линейной алгебре — разделу математики, в котором изучаются векторные пространства, матрицы и системы линейных уравнений. В этом конкретном случае, задание состоит в решении системы линейных уравнений, и метод, который нужно использовать, — это метод Гаусса.

Запишем систему уравнений:

$\text{[}\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+3x_3=6\\ 2x_1+3x_2-4x_3=20\\ 3x_1-2x_2-5x_3=6\end{array}\text{]}$

Шаг 1: Запишем систему в виде расширенной матрицы

Каждое уравнение записываем в строку, коэффициенты переменных превращаем в элементы матрицы, а результаты (правые стороны) — в столбец справа (расширенной матрицы):

$\text{[}\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 6\\ 2& 3& -4& 20\\ 3& -2& -5& 6\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 2: Приведение к треугольному виду с помощью метода Гаусса

Цель метода Гаусса — преобразовать матрицу так, чтобы в левой части образовался треугольник с нулями ниже главной диагонали.

2.1. Элементарные преобразования строк (R2 = R2 - 2*R1 и R3 = R3 - 3*R1):

• Для второй строки: $(2,3,-4,20)-2\cdot (1,-2,3,6)$ $\text{[}(2,3,-4,20)-(2,-4,6,12)=(0,7,-10,8)\text{]}$
• Для третьей строки: $(3,-2,-5,6)-3\cdot (1,-2,3,6)$ $\text{[}(3,-2,-5,6)-(3,-6,9,18)=(0,4,-14,-12)\text{]}$

Таким образом, новая матрица будет выглядеть так: $\text{[}\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 6\\ 0& 7& -10& 8\\ 0& 4& -14& -12\end{array}\right)\text{]}$

2.2. Приводим матрицу далее: очистим второй столбец

Теперь необходимо удалить элемент под вторым ведущим элементом. Выполним $\text{(}R3=R3-\frac{4}{7}\cdot R2\text{)}$:

• Для третьей строки: $(0,4,-14,-12)-\frac{4}{7}\cdot (0,7,-10,8)$ $\text{[}(0,4,-14,-12)-(0,4,-\frac{40}{7},\frac{32}{7})=(0,0,-\frac{58}{7},-\frac{116}{7})\text{]}$

Полученная матрица: $\text{[}\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 6\\ 0& 7& -10& 8\\ 0& 0& -\frac{58}{7}& -\frac{116}{7}\end{array}\right)\text{]}$

2.3. Приведение третьей строки

Теперь мы можем упростить третью строку, домножив её на $\text{(}-\frac{7}{58}\text{)}$, чтобы получить единицу в третьем ведущем элементе:

$\text{[}(0,0,-\frac{58}{7},-\frac{116}{7})\cdot (-\frac{7}{58})=(0,0,1,2)\text{]}$

Теперь матрица выглядит так: $\text{[}\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 6\\ 0& 7& -10& 8\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 3: Обратный ход Гаусса

Теперь начинаем с конца и поднимаемся вверх для нахождения значений переменных.

3.1. Третье уравнение:

$\text{[}{x}_3=2\text{]}$

3.2. Второе уравнение:

Из второго уравнения: $\text{[}7x_2-10x_3=8\text{]}$

Подставляем $\text{(}{x}_3=2\text{)}$:

$$\begin{gathered} \text{[}7x_2-10\cdot 2=8 \\ 7x_2-20=8 \\ 7x_2=28 \\ {x}_2=4\text{]} \end{gathered}$$

3.3. Первое уравнение:

Из первого уравнения: $\text{[}{x}_1-2x_2+3x_3=6\text{]}$

Подставляем $\text{(}{x}_2=4\text{)}$ и $\text{(}{x}_3=2\text{)}$:

$$\begin{gathered} \text{[}{x}_1-2\cdot 4+3\cdot 2=6 \\ {x}_1-8+6=6 \\ {x}_1-2=6 \\ {x}_1=8\text{]} \end{gathered}$$

Шаг 4: Ответ

Решением системы уравнений является: $\text{[}{x}_1=8,x_2=4,x_3=2\text{]}$