Решить систему уравнений

Задание относится к предмету математика, разделу линейная алгебра.

Необходимо решить систему линейных уравнений.

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 5x_1 + 7x_2 - 16x_3 = 38 \\ 2x_1 + 3x_2 - 7x_3 = 16 \\ 4x_1 + x_2 - x_3 = 10 \end{cases} \]

Посмотрим, как можно решить эту систему.

Шаг 1: Приведем систему к удобному виду

Сначала попробуем применить метод сложения или подстановки. Для начала упростим систему.

1. Переписываем первое уравнение: \[ 5x_1 + 7x_2 - 16x_3 = 38 \]
2. Переписываем второе уравнение: \[ 2x_1 + 3x_2 - 7x_3 = 16 \]
3. Переписываем третье уравнение: \[ 4x_1 + x_2 - x_3 = 10 \]

Шаг 2: Выразим одно неизвестное через другое

Чтобы упростить задачу, попробуем выразить одну переменную через другие из третьего уравнения:

Возьмем третье уравнение: \[ 4x_1 + x_2 - x_3 = 10 \]

Из него выразим \(x_2\): \[ x_2 = 10 - 4x_1 + x_3 \]

Шаг 3: Подставим \(x_2\) в первые два уравнения

1. Первое уравнение: \[ 5x_1 + 7(10 - 4x_1 + x_3) - 16x_3 = 38 \]

   Раскрываем скобки: \[ 5x_1 + 70 - 28x_1 + 7x_3 - 16x_3 = 38 \]

   Упрощаем: \[ -23x_1 - 9x_3 = -32 \]

   Разделим всё на -1: \[ 23x_1 + 9x_3 = 32 \quad (1) \]

2. Второе уравнение: \[ 2x_1 + 3(10 - 4x_1 + x_3) - 7x_3 = 16 \]

   Раскрываем скобки: \[ 2x_1 + 30 - 12x_1 + 3x_3 - 7x_3 = 16 \]

   Упрощаем: \[ -10x_1 - 4x_3 = -14 \]

   Разделим всё на -2: \[ 5x_1 + 2x_3 = 7 \quad (2) \]

Шаг 4: Решаем новую систему из двух уравнений (1) и (2):

\[ \begin{cases} 23x_1 + 9x_3 = 32 \\ 5x_1 + 2x_3 = 7 \end{cases} \]

Домножим второе уравнение на 9, чтобы можно было исключить \(x_3\): \[ \begin{cases} 23x_1 + 9x_3 = 32 \\ 45x_1 + 18x_3 = 63 \end{cases} \]

Теперь вычтем первое уравнение из второго: \[ (45x_1 + 18x_3) - (23x_1 + 9x_3) = 63 - 32 \]

\[ 22x_1 + 9x_3 - 23x_1 - 9x_3 = 31 \]

\[ 22x_1 - 23x_1 = 31 \]

\[ -x_1 = 31 \]

\[ x_1 = -31 \]

Шаг 5: Подставляем \(x_1 = -31\) в уравнение для нахождения \(x_3\)

Теперь подставим \(x_1 = -31\) во второе уравнение: \[ 5(-31) + 2x_3 = 7 \]

\[ -155 + 2x_3 = 7 \]

\[ 2x_3 = 7 + 155 \]

\[ 2x_3 = 162 \]

\[ x_3 = 81 \]

Шаг 6: Подставляем значения \(x_1 = -31\) и \(x_3 = 81\) в выражение для \(x_2\)

Используем ранее найденное выражение для \(x_2\): \[ x_2 = 10 - 4x_1 + x_3 \]

Подставляя значения: \[ x_2 = 10 - 4(-31) + 81 \]

\[ x_2 = 10 + 124 + 81 \]

\[ x_2 = 215 \]

Ответ:

\[ x_1 = -31, \quad x_2 = 215, \quad x_3 = 81 \]

Таким образом, решение системы уравнений: \[ x_1 = -31, \quad x_2 = 215, \quad x_3 = 81 \]

Теперь подставим \(x_2 = 10 - 4x_1 + x_3\) в первые два уравнения: