Решить систему уравнений.

Пример 1:

Решить систему уравнений:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. Найти фундаментальную систему решений.

Решение от преподавателя:

Используем метод Гаусса

Элементы 1-й строки, умноженные на -2, складываем с элементами 2-й строки, и результат записываем во 2-ю строку; элементы 1-й строки, умноженные на -1, складываем с элементами 3-й строки, и результат записываем в 3-ю строку; значения элементов 1-й строки не меняем

Т. к. 2-я и 3-я строки одинаковые, то одну можно вычеркнуть

Общее решение

Фундаментальная система решений

Пример 3:

Решить систему уравнений:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решить систему уравнений:

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

A =

1 -1 1 2 1 1 1 1 2

B^T = (3,11,8) 
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. 
Определитель: 
∆ = 1*(1*2-1*1)-2*((-1)*2-1*1)+1*((-1)*1-1*1) = 5 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

3	-1	1
11	1	1
8	1	2

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*(1*2-1*1)-11*((-1)*2-1*1)+8*((-1)*1-1*1) = 20 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

1	3	1
2	11	1
1	8	2

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*(11*2-8*1)-2*(3*2-8*1)+1*(3*1-11*1) = 10 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

1	-1	3
2	1	11
1	1	8

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*(1*8-1*11)-2*((-1)*8-1*3)+1*((-1)*11-1*3) = 5 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 



Проверка. 
1*4-1*2+1*1 = 3 
2*4+1*2+1*1 = 11 
1*4+1*2+2*1 = 8 

Пример 5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решить систему уравнений:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Решить систему уравнений:

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

A =

3 -1 1 2 -5 -3 1 1 -1

B^T = (4,-17,0) 
Система совместна тогда и только тогда, когда главный определитель не равен нулю. 

Определитель: 
∆ = 3*((-5)*(-1)-1*(-3))-2*((-1)*(-1)-1*1)+1*((-1)*(-3)-(-5)*1) = 32 

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

4	-1	1
-17	-5	-3
0	1	-1

Найдем определитель полученной матрицы. 

∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 4*((-5)*(-1)-1*(-3))-(-17)*((-1)*(-1)-1*1)+0*((-1)*(-3)-(-5)*1) = 32 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

3	4	1
2	-17	-3
1	0	-1

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*((-17)*(-1)-0*(-3))-2*(4*(-1)-0*1)+1*(4*(-3)-(-17)*1) = 64 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

3	-1	4
2	-5	-17
1	1	0

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*((-5)*0-1*(-17))-2*((-1)*0-1*4)+1*((-1)*(-17)-(-5)*4) = 96 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 



Проверка. 
3*1-1*2+1*3 = 4 
2*1-5*2-3*3 = -17 
1*1+1*2-1*3 = 0 

Пример 8:

Решить систему линейных уравнений:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Решить систему уравнений. Сделать проверку.

3x +  y + 2z = 4 ,

x + 2y + 3z = 1 ,

2x – 3y –  z = 9 .

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

A =

3 1 2 1 2 3 2 -3 -1

B^T = (4,1,9) 
Система совместна тогда и только тогда, когда главный определитель не равен нулю. 

Определитель: 

∆ = 3*(2*(-1)-(-3)*3)-1*(1*(-1)-(-3)*2)+2*(1*3-2*2) = 14 

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

4	1	2
1	2	3
9	-3	-1

Найдем определитель полученной матрицы. 

∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 4*(2*(-1)-(-3)*3)-1*(1*(-1)-(-3)*2)+9*(1*3-2*2) = 14 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

3	4	2
1	1	3
2	9	-1

Найдем определитель полученной матрицы. 

∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*(1*(-1)-9*3)-1*(4*(-1)-9*2)+2*(4*3-1*2) = -42 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

3	1	4
1	2	1
2	-3	9

Найдем определитель полученной матрицы. 

∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*(2*9-(-3)*1)-1*(1*9-(-3)*4)+2*(1*1-2*4) = 28 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 

Проверка. 
3*1+1*(-3)+2*2 = 4 
1*1+2*(-3)+3*2 = 1 
2*1-3*(-3)-1*2 = 9

Пример 10:

Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя: