Решить систему трех линейных уравнений

Условие:

3x+2y+2z=9 2x-y-z=-1 x+5y+z=4

Решение:

**Предмет**: Алгебра **Раздел**: Система линейных уравнений Мы имеем систему трех линейных уравнений: 1) \( 3x + 2y + 2z = 9 \) 2) \( 2x - y - z = -1 \) 3) \( x + 5y + z = 4 \) Наша цель — найти значения переменных \( x \), \( y \) и \( z \). Для этого применим метод подстановки или метод сложения (вычитания уравнений). Рассмотрим, как решить эту задачу пошагово методом подстановки. ### Шаг 1: Выражение одной из переменных Для удобства выберем для выражения переменную \( x \) из второго уравнения: \[ 2x - y - z = -1 \] Из этого уравнения выразим \( x \): \[ 2x = y + z - 1 \\ x = \frac{y + z - 1}{2} \] ### Шаг 2: Подстановка значения \( x \) в оставшиеся уравнения Теперь подставим выражение для \( x \) из предыдущего шага в первое и третье уравнения. Подставляем \( x = \frac{y + z - 1}{2} \) в первое уравнение \( 3x + 2y + 2z = 9 \): \[ 3 \left( \frac{y + z - 1}{2} \right) + 2y + 2z = 9 \] Упростим: \[ \frac{3(y + z - 1)}{2} + 2y + 2z = 9 \\ \frac{3y + 3z - 3}{2} + 2y + 2z = 9 \] Домножим все на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 3y + 3z - 3 + 4y + 4z = 18 \] Соберем подобные: \[ 7y + 7z - 3 = 18 \\ 7y + 7z = 21 \\ y + z = 3 \] Мы получили уравнение \( y + z = 3 \). ### Шаг 3: Подстановка в третье уравнение Подставим \( x = \frac{y + z - 1}{2} \) в третье уравнение \( x + 5y + z = 4 \): \[ \frac{y + z - 1}{2} + 5y + z = 4 \] Домножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ (y + z - 1) + 10y + 2z = 8 \] Упрощаем и собираем подобные: \[ y + z - 1 + 10y + 2z = 8 \\ 11y + 3z - 1 = 8 \\ 11y + 3z = 9 \] Мы получили второе уравнение: \( 11y + 3z = 9 \). ### Шаг 4: Решение системы с двумя переменными \( y \) и \( z \) Теперь решим систему из двух уравнений: 1) \( y + z = 3 \) 2) \( 11y + 3z = 9 \) Из первого уравнения выразим \( z \): \[ z = 3 - y \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 11y + 3(3 - y) = 9 \] Раскроем скобки: \[ 11y + 9 - 3y = 9 \] Упростим: \[ 8y + 9 = 9 \] Решаем: \[ 8y = 0 \\ y = 0 \] ### Шаг 5: Найдем \( z \) Подставим \( y = 0 \) в первое уравнение \( y + z = 3 \): \[ 0 + z = 3 \\ z = 3 \] ### Шаг 6: Найдем \( x \) Теперь, когда мы знаем \( y = 0 \) и \( z = 3 \), подставим их значения в выражение для \( x \): \[ x = \frac{y + z - 1}{2} = \frac{0 + 3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] ### Ответ: \[ x = 1, \quad y = 0, \quad z = 3 \] ### Проверка: Подставим найденные значения \( x = 1 \), \( y = 0 \) и \( z = 3 \) во все уравнения системы: 1) \( 3(1) + 2(0) + 2(3) = 3 + 0 + 6 = 9 \) — верно. 2) \( 2(1) - 0 - 3 = 2 - 3 = -1 \) — верно. 3) \( 1 + 5(0) + 3 = 1 + 0 + 3 = 4 \) — верно. Таким образом, решение верное.