Решить систему трех линейных уравнений

Предмет: Алгебра Раздел: Система линейных уравнений

Мы имеем систему трех линейных уравнений:

1. \( 3x + 2y + 2z = 9 \)
2. \( 2x - y - z = -1 \)
3. \( x + 5y + z = 4 \)

Наша цель — найти значения переменных \( x \), \( y \) и \( z \). Для этого применим метод подстановки или метод сложения (вычитания уравнений). Рассмотрим, как решить эту задачу пошагово методом подстановки.

Шаг 1: Выражение одной из переменных

Для удобства выберем для выражения переменную \( x \) из второго уравнения: \[ 2x - y - z = -1 \] Из этого уравнения выразим \( x \): \[ 2x = y + z - 1 \\ x = \frac{y + z - 1}{2} \]

Шаг 2: Подстановка значения \( x \) в оставшиеся уравнения

Теперь подставим выражение для \( x \) из предыдущего шага в первое и третье уравнения. Подставляем \( x = \frac{y + z - 1}{2} \) в первое уравнение \( 3x + 2y + 2z = 9 \):

Домножим все на 2, чтобы избавиться от дробей:

Мы получили уравнение \( y + z = 3 \).

Шаг 3: Подстановка в третье уравнение

Подставим \( x = \frac{y + z - 1}{2} \) в третье уравнение \( x + 5y + z = 4 \):

Домножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:

Упрощаем и собираем подобные:

Мы получили второе уравнение: \( 11y + 3z = 9 \).

Шаг 4: Решение системы с двумя переменными \( y \) и \( z \)

Теперь решим систему из двух уравнений:

1. \( y + z = 3 \)
2. \( 11y + 3z = 9 \)

Из первого уравнения выразим \( z \):

Подставим это выражение во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Упростим:

Решаем:

Шаг 5: Найдем \( z \)

Подставим \( y = 0 \) в первое уравнение \( y + z = 3 \):

Шаг 6: Найдем \( x \)

Теперь, когда мы знаем \( y = 0 \) и \( z = 3 \), подставим их значения в выражение для \( x \):

Ответ:

\[ x = 1, \quad y = 0, \quad z = 3 \]

Проверка:

Подставим найденные значения \( x = 1 \), \( y = 0 \) и \( z = 3 \) во все уравнения системы:

1. \( 3(1) + 2(0) + 2(3) = 3 + 0 + 6 = 9 \) — верно.
2. \( 2(1) - 0 - 3 = 2 - 3 = -1 \) — верно.
3. \( 1 + 5(0) + 3 = 1 + 0 + 3 = 4 \) — верно.

Таким образом, решение верное.