Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса

Определение предмета и раздела

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дано

Рассмотрим систему линейных уравнений (первая система из задания):

 \begin{cases} 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 8, \ 2x_1 - 3x_2 - 3x_3 + x_4 = -3, \ 4x_1 + x_2 + 5x_3 + 3x_4 = 6, \ x_1 + 2x_2 - 4x_3 - 3x_4 = -3. \end{cases} 

Решение

1. Метод Крамера

Метод Крамера применим, если определитель матрицы коэффициентов системы не равен нулю.

Запишем матрицу коэффициентов:
 A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 & -1 \ 2 & -3 & -3 & 1 \ 4 & 1 & 5 & 3 \ 1 & 2 & -4 & -3 \end{bmatrix} 

Определитель матрицы A (детерминант) вычисляется по формуле разложения по строке или с помощью метода Гаусса. Если \det(A) \neq 0, то решение можно найти по формулам Крамера:

 x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} 

где A_i — матрица, полученная заменой i-го столбца матрицы A на столбец свободных членов.

2. Метод обратной матрицы

Решение системы можно выразить как:

 X = A^{-1} B 

где A^{-1} — обратная матрица к A, а B — столбец свободных членов:

 B = \begin{bmatrix} 8 \ -3 \ 6 \ -3 \end{bmatrix} 

Обратную матрицу можно найти через метод Гаусса-Жордана или формулу A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A), где \text{Adj}(A) — присоединённая матрица.

3. Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы

 \left[ \begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 2 & -1 & 8 \ 2 & -3 & -3 & 1 & -3 \ 4 & 1 & 5 & 3 & 6 \ 1 & 2 & -4 & -3 & -3 \end{array} \right] 

к ступенчатому виду с последующим обратным ходом.

Вывод

Решение системы можно найти тремя методами. Для точного ответа необходимо вычислить детерминанты, обратную матрицу или выполнить прямой и обратный ход метода Гаусса.