Решить систему линейных уравнений с тремя переменными

Это задание относится к предмету математика, а именно к разделу линейная алгебра, в рамках темы системы линейных уравнений. Здесь дана система линейных уравнений с тремя переменными \(x\), \(y\) и \(z\), которую нужно решить.

Система уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 7y - 3z = -10, \\ 2x + 9y - z = 8, \\ -x + 6y - 3z = 3. \end{cases} \]

Решим систему пошагово. Есть разные методы решения: подстановка, исключение или матричный метод. Здесь мы воспользуемся методом исключения (Гауссовым исключением):

1. Упростим систему

Цель — исключать переменные одно за одной. Перепишем:

\[ \text{(1): } 4x + 7y - 3z = -10, \quad \text{(2): } 2x + 9y - z = 8, \quad \text{(3): } -x + 6y - 3z = 3. \]

Шаг 1: Выбор уравнения для упрощения

Возьмем первые два уравнения (1) и (2), чтобы сначала исключить \(x\).

2. Устранение переменной \(x\)

Домножим уравнения, чтобы коэффициенты при \(x\) стали одинаковыми.

• Умножим (2) на 2: \[ 4x + 18y - 2z = 16 \quad \text{(новое уравнение от (2))}. \]
• Теперь используем (1) и новый вариант (2): \[ (4x + 7y - 3z) - (4x + 18y - 2z) = -10 - 16. \]

Упростим: \[ -11y - z = -26. \quad \text{(назовем это уравнением (4))}. \]

Теперь займемся (1) и (3).

Шаг 2: Устранение \(x\) из (1) и (3)

• Умножим (1) на \(1\) (остается без изменения): \[ 4x + 7y - 3z = -10. \]
• Умножим (3) на 4 для уравнивания коэффициентов: \[ -4x + 24y - 12z = 12. \]
• Складываем эти уравнения: \[ (4x + 7y - 3z) + (-4x + 24y - 12z) = -10 + 12. \]

Упростим: \[ 31y - 15z = 2. \quad \text{(назовем это уравнением (5))}. \]

3. Упрощенная система

Теперь система сократилась до двух уравнений с двумя неизвестными \(y\) и \(z\):

\[ \begin{cases} -11y - z = -26, \\ 31y - 15z = 2. \end{cases} \]

Решим её.

4. Решение новой системы

Выразим \(z\) через \(y\) из первого уравнения:

\[ -11y - z = -26 \implies z = -26 + 11y. \]

Подставим это значение \(z\) во второе уравнение:

\[ 31y - 15(-26 + 11y) = 2. \]

Раскроем скобки:

\[ 31y + 390 - 165y = 2. \]

Упростим:

\[ -134y + 390 = 2. \]

\[ -134y = -388. \]

\[ y = \frac{-388}{-134} = \frac{194}{67}. \]

5. Найдем \(z\)

Подставим \(y = \frac{194}{67}\) в выражение для \(z\):

\[ z = -26 + 11 \cdot \frac{194}{67}. \]