Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений (метод обратной матрицы)

Шаг 1: Записать систему уравнений в матричной форме

Дана система:

1. X_1 + 2X_2 - 4X_3 = 1
2. 3X_1 + 7X_2 + 2X_3 = 2
3. 2X_1 + 6X_2 + X_3 = 0

Запишем её в виде матричного уравнения:

 AX = B 

где:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \ 3 & 7 & 2 \ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} X_1 \ X_2 \ X_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix} 

Шаг 2: Найти обратную матрицу A^{-1}

Чтобы решить систему, найдём:

 X = A^{-1}B 

Для этого сначала найдём определитель матрицы A:

 \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -4 \ 3 & 7 & 2 \ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} 

Разложим по первой строке:

 \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 2 \ 6 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 2 & 1 \end{vmatrix} + (-4) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 7 \ 2 & 6 \end{vmatrix} 

Вычисляем:

•  \begin{vmatrix} 7 & 2 \ 6 & 1 \end{vmatrix} = 7 \cdot 1 - 6 \cdot 2 = 7 - 12 = -5 

•  \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1 

•  \begin{vmatrix} 3 & 7 \ 2 & 6 \end{vmatrix} = 3 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 18 - 14 = 4 

Теперь подставим:

 \det(A) = 1 \cdot (-5) - 2 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 = -5 + 2 - 16 = -19 

Так как \det(A) \ne 0, матрица A обратима.

Шаг 3: Найдём обратную матрицу A^{-1}

Для этого используем формулу:

 A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) 

Найдём присоединённую матрицу (матрицу алгебраических дополнений, транспонированную).

Вычислим алгебраические дополнения:

• Элемент (1,1):  \begin{vmatrix} 7 & 2 \ 6 & 1 \end{vmatrix} = -5  → алгебраическое дополнение: C_{11} = -5

• Элемент (1,2):  \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 → C_{12} = -(-1) = 1

• Элемент (1,3):  \begin{vmatrix} 3 & 7 \ 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 → C_{13} = 4

• Элемент (2,1):  \begin{vmatrix} 2 & -4 \ 6 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - (-4) \cdot 6 = 2 + 24 = 26 → C_{21} = -26

• Элемент (2,2):  \begin{vmatrix} 1 & -4 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-4) \cdot 2 = 1 + 8 = 9 → C_{22} = 9

• Элемент (2,3):  \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2 → C_{23} = -2

• Элемент (3,1):  \begin{vmatrix} 2 & -4 \ 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-4) \cdot 7 = 4 + 28 = 32 → C_{31} = 32

• Элемент (3,2):  \begin{vmatrix} 1 & -4 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-4) \cdot 3 = 2 + 12 = 14 → C_{32} = -14

• Элемент (3,3):  \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1 → C_{33} = 1

Теперь запишем матрицу алгебраических дополнений:

 \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 4 \ -26 & 9 & -2 \ 32 & -14 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \ 1 & 9 & -14 \ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} 

Теперь найдём A^{-1}:

 A^{-1} = \frac{1}{-19} \cdot \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \ 1 & 9 & -14 \ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} 

Шаг 4: Найдём X = A^{-1}B

Выполним умножение:

 X = \frac{1}{-19} \cdot \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \ 1 & 9 & -14 \ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix} 

Выполним умножение по строкам:

• Первая строка: (-5)\cdot1 + (-26)\cdot2 + 32\cdot0 = -5 - 52 + 0 = -57
• Вторая строка: 1\cdot1 + 9\cdot2 + (-14)\cdot0 = 1 + 18 = 19
• Третья строка: 4\cdot1 + (-2)\cdot2 + 1\cdot0 = 4 - 4 = 0

Получаем:

 X = \frac{1}{-19} \cdot \begin{pmatrix} -57 \ 19 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \ 0 \end{pmatrix} 

Ответ:

X_1 = 3, \quad X_2 = -1, \quad X_3 = 0

Если будут вопросы по вычислениям или другим методам решения (например, методом Гаусса) — обращайся!